Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son "ortogonales" cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son "ortogonales".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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