|
|
Abril del 2015
Publicado el
30 de Abril, 2015, 16:36
|
Publicado el
28 de Abril, 2015, 23:49
|
Publicado el
26 de Abril, 2015, 19:10
|
Anterior Post
En el anterior post, mostré la postura de Alan Connes, para quien las matemáticas se descubren, lo que descubrimos ya está ahí, de antes que nosotros, en un mundo matemático que tiene tanta realidad o más que la realidad física. Yo no pondría "realidad", mas bien usaría "mundo". Para mí, realidad se refiere a la realidad del mundo cambiente, no a la inmutabilidad de esa "realidad matemática". Pero tal vez en el fondo no es más que una cuestión de terminología. Veamos hoy la posición de Michael Atiyah. A Atiyah lo conozco más, he leía algún texto suyo, y conozco de su trabajo. Es ganador de la medalla Fields en 1966, la medalla Copley en 1988 y del premio Abel en 2004. Es decir, es un matemático con todas las letras, de influencia similar a la de Connes. Atiyah señalaba:
Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiera desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.
Original la idea de la medusa. Sin embargo, tengo algo que comentar sobre esta postura. Y es algo que puede comenzar a explicar por qué nuestras matemáticas se adecuan tanto a la explicación de modelos de la realidad física. Pienso que la experiencia de la medusa no INVALIDA la posibilidad de existencia de un mundo matemático, con números primos, geometría, e hipótesis de Riemann. Sólo pone de manifiesto que como organismo inteligente, por experiencia sensorial, sólo descubriría una parte de ese mundo. Pero tal vez aún así, tomando caminos de desarrollo no evidentes, llegue a descubrir matemáticas que están lejos de la experiencia física. En el caso humano, tenemos todo lo que hizo Cantor con los infinitos y sus números transfinitos, o los números surreales de Conway, y debe haber más y mejores ejemplos. Y también es posible que nuestra mente, como la de la medusa, sólo pueda descubrir PARTE del mundo matemático, el sugerido por el razonamiento y la experiencia sensorial humana. Y esa experiencia del mundo físico justamente nos lleva a desarrollar matemáticas que luego se pueden aplicar a los modelos que vamos planteando.
Encuentro el texto de Atiyah en el libro de Mario Livio ¿Es Dios un matemático?
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
23 de Abril, 2015, 16:04
|
Publicado el
22 de Abril, 2015, 5:11
|
Anterior Post
Siguiente Post
En el primer post mencioné un tema a explorar: las matemáticas ¿existen por sí mismas, en una realidad matemática digamos, y nosotros como seres humanos las vamos descubriendo, como cuando exploramos un continente desconocido (no inventamos las montañas, simplemente las descubrimos; lo mismo los teoremas y conceptos)? En este caso ¿cómo es posible que podamos acceder desde nuestra mente a ese mundo? ¿O serán las matemáticas sólo fruto de la mente humana, sin mayor entidad fuera de ella? Entonces ¿cómo se explica la gran aplicación y éxito de las matemáticas en los modelos de la realidad física?
Veamos la postura expresada por Alain Connes, que defiende la primera posición: las matemáticas como realidad independiente de la realidad física (y de nuestra mente). Connes es matemático, ganador de la medalla Field (1982) (EL PREMIO en matemáticas, que se otorga cada cuatro años), y el premio Crafoord (2001). En 1989 expuso su punto de vista de esta manera:
Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física.
En próximo post, veremos que no todos están de acuerdo con la postura de Connes. Incluso hay matemáticos que defienden la idea de las matemáticas como fruto humano.
El texto de arriba lo encuentro en las primeras páginas del libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?"
Ver también:
http://www.alainconnes.org/en/
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
21 de Abril, 2015, 14:08
|
Publicado el
19 de Abril, 2015, 18:47
|
Publicado el
17 de Abril, 2015, 14:34
|
Anterior Post
Siguiente Post
Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:
Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.
Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.
Posts relacionados:
La realidad matemática, según Hardy
Einstein: Matemáticas y Realidad
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
13 de Abril, 2015, 17:40
|
Publicado el
12 de Abril, 2015, 18:12
|
Anterior Post
Siguiente Post
Veamos hoy cómo consiguió Euler resolver el problema de Basilea. Durante su vida dio varias pruebas. Visitemos hoy una, con una operación muy típica de Euler: aparear una suma infinita con una multiplicación infinita.
Cuando tenemos un polinomio de segundo grado como:
Existen para él dos raíces, en este caso 3 y 7, y se puede expresar el polinomio como:
Lo que hizo Euler es encontrar una expresión como la de arriba, una multiplicación de raíces, pero para una función trigonométrica que tiene infinitos ceros.
Recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno de x:
Dividamos por x, queda:
Los ceros de esta función son los x igual a múltiplo entero de pi. O sea:
Euler se atrevió a expresarla entonces como una multiplicación infinita de esos ceros, como hicimos con el polinomio:
(este paso es el que requiere justificación cuidadosa, pero Euler se tenía confianza). Vemos que si x toma uno de los valores que mencionamos, UNO de los factores de arriba valdrá 0, y el resultado es 0 (dejando de lado el punto problemático x = 0). Concentrémonos en expandir y desarrollar esta multiplicación. Primero, podemos reexpresarla, combinando los factores consecutivos de a dos:
Para eso, cada término de la expansión será una multiplicación (formalmente infinita) de un término elegido de cada factor de la multiplicación de arriba. Cada factor tiene dos términos: o un 1 (uno) o un término en x cuadrado. Pongamos foco en los términos que resultan de elegir sólo un término en x cuadrado, y el resto tomamos el 1. Así, el término resultanto en x cuadrado es:
El coeficiente para x cuadrado es entonces:
Expresando el último factor como sumatoria sobre todos los naturales:
En la expansión de Taylor, el término en x cuadrado es
Igualando los coeficientes queda:
Lo que da la notable solución del problema de Basilea: la suma infinita de los inversos de los cuadrados naturales es:
Un resultado inesperado. ¿Quién diría que esa suma infinita de inversos de cuadrados estaría relacionada con pi?
Veremos en el próximo post que Euler no sólo se quedó con esta solución, sino que examinó los coeficientes para otras potencias de x.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
11 de Abril, 2015, 21:05
|
Publicado el
10 de Abril, 2015, 19:44
|
Publicado el
7 de Abril, 2015, 17:10
|
Publicado el
5 de Abril, 2015, 8:06
|
Anterior Post
Siguiente Post
Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.
Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.
El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:
Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.
La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:
Los números de Fermat
La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:
Y en
Ver mi serie p = x2 + y2.
El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:
Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)
Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
4 de Abril, 2015, 15:30
|
Anterior Post
Siguiente Post
Mencionaba en el anterior post que la electrodinámica cuántica, de la mano de Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman, consiguió dar un valor finito para el número de Dirac. El valor teórico resultante fue de 1.00116, muy cercano al valor experimental de 1.00118. Fue un gran triunfo de la teoría, que comenzó a evitar los infinitos. Esa es la teoría que tenemos que estudiar en esta serie de posts.
Con los años, se mejoraron los resultados experimentales. Por ejemplo, en la segunda mitad del siglo pasado se llegó a determinar experimentalmente el valor de 1.00115965221 (con incertidumbre de 4 en el último dígito) mientras que la teoría daba 1.00115965246. Para darnos una idea de lo impresionante que es el acuerdo entre experimento y teoría, si midiéramos las distancia entre Los Angeles y Nueva York CON LA MISMA PRECISION, sería exacta con sólo la incertidumbre de un cabello humano. Y no es el único acuerdo entre experimento y teoría. Durante décadas la electrodinámica cuántica ha sido puesta a prueba y ha salido airosa. Se han medido cosas desde el orden de cientos de veces el tamaño de la Tierra, hasta un centésimo del tamaño de un núcleo atómico.
La teoría describe un vasto rango de fenómenos físicos. Quedan exceptuados los efectos gravitacionales y los fenómenos radioactivos, que son debidos a cambios en el núcleo atómico, donde intervienen otras fuerzas. ¿Qué queda fuera de gravitación y radioactividad? El quemado de gasolina en los automóviles, la formación de espuma y burbujas, la dureza de la sal o del cobre, las características del acero. Los biólogos tratan de explicar la vida en términos químicos, y se ha descubierto que las propiedades químicas son consecuencia de la electrodinámica cuántica.
Ahora bien, cuando decimos que la teoría "explica", en realidad no es tan así. En muchos fenómenos intervienen tal cantidad de electrones que es difícil explicar la complejidad. Pero si hacemos experimentos con pocos electrones en circunstancias simples, podemos calcular lo que sucede con mucha aproximación usando la teoría. Cuando hacemos ese tipo de experimentos, la teoría trabaja muy bien. Podemos decir que es la joya de la física, su más preciada posesión.
Y sirve de prototipo a las teorías que intentan explicar el comportamiento del núcleo atómico. Los actores del universo no son sólo electrones y fotones, sino que en el núcleo hay quarks y gluones y se encontraron más particulas en la naturaleza y en experimentos. Y aunque actúan de distinta forma, igual su conducta tiene un estilo "cuántico". Pero por ahora, nos concentraremos en electrones y fotones.
Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
3 de Abril, 2015, 17:16
|
Anterior Post
En el anterior post presenté más contexto sobre el uso de números complejos en física y en la ecuación de Schrödinger. Recordemos que la solución de esa ecuación es una función de onda. Era lo que buscaba Schrödinger: luego de dar una charla sobre la teoría de de Broglie, su colega Debye le señaló que si había ondas en esa teoría, debía haber una función de onda, y como en otras ramas de la física, debería satisfacer una ecuación de ondas. De ahí arranca el trabajo de Schrödinger, que siguió un camino distinto al que tomamos nosotros.
En nuestro anterior "deducción" de la ecuación (a partir de elementos plausibles) vimos que no pudimos resolverla apelando a una función de onda real. Eso se debe a que en la expresión de la ecuación interviene LA PRIMERA DERIVADA del tiempo, y LA SEGUNDA DERIVADA de las otras coordenadas. Ese es el quid de la aparición de los números complejos en nuestra solución. Schrödinger siguió un camino más esotérico, pero llegó también a lo mismo: aunque "se resistió" a poner números complejos, al final tuvo que claudicar y expresar, en el últimos de sus artículos de la serie de 1926, la solución de su ecuación usando un coeficiente i (según el anterior post, parece que espoleado por alguna pregunta de Lorentz).
Algunos pensaron que tener una función de onda compleja era un defecto de la teoría. Al fin y al cabo, las magnitudes físicas, las que podemos medir por experimento, son todas reales (en el sentido no filosófico, de realidad, sino en el sentido de ser expresables, medibles en números reales). Pero hubo algo bueno en que sea función compleja. Si recordamos la historia del electromagnetismo, las funciones de onda de esa teoría daban valores reales, y eso llevó a considerar, por tradición de la física, que "había algo" que vibraba según esas ondas, y se inventó la teoría del éter. Se tardó bastante tiempo para entender que no había tal éter. Con la teoría de Schrödinger no corremos ese peligro: al ser compleja, no se espera que haya algo que "vibre" ahí afuera en la realidad. Uno podría esperar separar la función compleja en parte real y parte imaginaria. Matemáticamente, es posible hacerlo. Pero usar cada función por separado no lleva a ningún resultado físico.
Notablemente, se tardó unos meses en dar con una conexión física firme entre la función de onda compleja y la evidencia física. Schrödinger consideraba que había una relación entre su función y la densidad de carga eléctrica. Pero fue Max Born el que dio más en la tecla, al poner su postulado:
Teniendo la función de onda, digamos, para una partícula, una dimensión:
Lo expresado por:
Es la densidad de probabilidad. Como la función de onda se multiplica en cada punto (x,y) por su conjugada compleja (de ahí el asterisco en la segunda psi), el resultado es un número real en cada punto. ¿por qué se llama densidad de probabilidad? Por el postulado de Born, que se expresa:
Si en el instante t se realiza una medición para localizar la partícula descripta por la función de onda Psi(x,t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de encontrarla entre x y x + dx, es igual a:
Lo mismo se puede extender a varias coordenadas, a un sistema de partículas, y un volumen infinitesimal de esas coordenadas. Siendo lo de arriba "la densidad" por "punto de volumen", la probabilidad se obtiene integrando en el volumen V de coordenadas:
Se pide en general, que si se extiende la integración a todo el volumen de coordenadas, el valor de la probabilidad sea siempre (en todo tiempo) uno. Se dice entonces que la función de onda está normalizada. Se podrían tomar otras funciones de la función de onda que den igualmente resultados reales. Por ejemplo, se podría poner como densidad de probabilidad a:
Usando el valor absoluto de la función de onda. Pero estas otras opciones quedan descartadas porque su aplicación no lleva a los resultados físicos esperados (parece que es necesario un largo razonamiento para descartar estas otras soluciones, ninguna de mis fuentes (Landau/Lifschitz, Eisberg/Resnick) los menciona explícitamente).
Born publica sus ideas en una nota al pie de uno de sus artículos. Esa idea inicial, de probabilidad de posición, luego se extiende a otras probabilidades asociadas a otras medidas, no sólo a posición.
Ver también mi serie más matemática: Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad
Y ver
What is Born's Postulate
The Born Rule
The Born rule and its interpretation
Mathematical foundation of quantum mechanics
Es interesante ver Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity donde se enumeran los postulados de la mecánica cuántica, y se propone una derivación alternativa.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
2 de Abril, 2015, 17:02
|
|
Comentarios (1)