Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 3 de Abril, 2015, 17:16

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En el anterior post presenté más contexto sobre el uso de números complejos en física y en la ecuación de Schrödinger. Recordemos que la solución de esa ecuación es una función de onda. Era lo que buscaba Schrödinger: luego de dar una charla sobre la teoría de de Broglie, su colega Debye le señaló que si había ondas en esa teoría, debía haber una función de onda, y como en otras ramas de la física, debería satisfacer una ecuación de ondas. De ahí arranca el trabajo de Schrödinger, que siguió un camino distinto al que tomamos nosotros.

En nuestro anterior "deducción" de la ecuación (a partir de elementos plausibles) vimos que no pudimos resolverla apelando a una función de onda real. Eso se debe a que en la expresión de la ecuación interviene LA PRIMERA DERIVADA del tiempo, y LA SEGUNDA DERIVADA de las otras coordenadas. Ese es el quid de la aparición de los números complejos en nuestra solución. Schrödinger siguió un camino más esotérico, pero llegó también a lo mismo: aunque "se resistió" a poner números complejos, al final tuvo que claudicar y expresar, en el últimos de sus artículos de la serie de 1926, la solución de su ecuación usando un coeficiente i (según el anterior post, parece que espoleado por alguna pregunta de Lorentz).

Algunos pensaron que tener una función de onda compleja era un defecto de la teoría. Al fin y al cabo, las magnitudes físicas, las que podemos medir por experimento, son todas reales (en el sentido no filosófico, de realidad, sino en el sentido de ser expresables, medibles en números reales). Pero hubo algo bueno en que sea función compleja. Si recordamos la historia del electromagnetismo, las funciones de onda de esa teoría daban valores reales, y eso llevó a considerar, por tradición de la física, que "había algo" que vibraba según esas ondas, y se inventó la teoría del éter. Se tardó bastante tiempo para entender que no había tal éter. Con la teoría de Schrödinger no corremos ese peligro: al ser compleja, no se espera que haya algo que "vibre" ahí afuera en la realidad. Uno podría esperar separar la función compleja en parte real y parte imaginaria. Matemáticamente, es posible hacerlo. Pero usar cada función por separado no lleva a ningún resultado físico.

Notablemente, se tardó unos meses en dar con una conexión física firme entre la función de onda compleja y la evidencia física. Schrödinger consideraba que había una relación entre su función y la densidad de carga eléctrica. Pero fue Max Born el que dio más en la tecla, al poner su postulado:
Teniendo la función de onda, digamos, para una partícula, una dimensión:

Lo expresado por:

Es la densidad de probabilidad. Como la función de onda se multiplica en cada punto (x,y) por su conjugada compleja (de ahí el asterisco en la segunda psi), el resultado es un número real en cada punto.  ¿por qué se llama densidad de probabilidad? Por el postulado de Born, que se expresa:

Si en el instante t se realiza una medición para localizar la partícula descripta por la función de onda Psi(x,t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de encontrarla entre x y x + dx, es igual a:

Lo mismo se puede extender a varias coordenadas, a un sistema de partículas, y un volumen infinitesimal de esas coordenadas. Siendo lo de arriba "la densidad" por "punto de volumen", la probabilidad se obtiene integrando en el volumen V de coordenadas:

Se pide en general, que si se extiende la integración a todo el volumen de coordenadas, el valor de la probabilidad sea siempre (en todo tiempo) uno. Se dice entonces que la función de onda está normalizada. Se podrían tomar otras funciones de la función de onda que den igualmente resultados reales. Por ejemplo, se podría poner como densidad de probabilidad a:

Usando el valor absoluto de la función de onda. Pero estas otras opciones quedan descartadas porque su aplicación no lleva a los resultados físicos esperados (parece que es necesario un largo razonamiento para descartar estas otras soluciones, ninguna de mis fuentes (Landau/Lifschitz, Eisberg/Resnick) los menciona explícitamente).

Born publica sus ideas en una nota al pie de uno de sus artículos. Esa idea inicial, de probabilidad de posición, luego se extiende a otras probabilidades asociadas a otras medidas, no sólo a posición.

Ver también mi serie más matemática: Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad

Y ver

What is Born's Postulate
The Born Rule
The Born rule and its interpretation
Mathematical foundation of quantum mechanics

Es interesante ver Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity donde se enumeran los postulados de la mecánica cuántica, y se propone una derivación alternativa.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia