Publicado el 31 de Mayo, 2015, 20:10
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Tomemos una forma de orden n, con m variables:
De esta forma general podemos derivar otra forma, expresando las m variables originales con funciones de otras m variables:
Donde estas nuevas m funciones son todas formas del mismo orden. Esta operación es llamada transformación, las nuevas variables son las x" (x prima), y la forma resultante:
Es llamada la forma transformada. Hay transformaciones más interesantes que otras. Tomemos transformaciones lineales:
Los alfa se llaman los coeficientes de la transformación. La forma transformada entonces es:
Una propiedad interesante de la transformada es que tiene el mismo orden que la original. Es un poco trabajoso demostrarlo, veamos algunos puntos. El término general de la forma original es:
Donde la suma de los exponentes de las variables es:
Y se transforma a:
Los términos del primer polinomio elevado a v1, son términos homogéneos en los alfa y en los x primas, de orden v1. Y así con las demás potencias desarrolladas del resto de los polinomios lineales. Cada término final es el producto de un término homogéneo de alfas y x primas de orden v1, por un término homogéneo de alfas y x primas de orden v2, por .. y así, llegando a ser cada término final homogéneo de orden v1+v2+…+vm = n, en alfas y equis primas. Si sumamos los coeficientes de los términos que tengan la misma distribución de variables x prima (que tengan los mismos exponentes), el coeficiente resultante es homogéneo lineal en los coeficientes originales ci, y homogéneo de orden n en los coeficientes originales alfa. Como les decía, es algo trabajoso verlo en detalle, veamos un ejemplo en concreto. Sea la forma original de dos variables, y segundo orden:
Sea la transformación lineal:
Aplicando la transformación, queda:
Donde:
Lo que muestra de forma más concreta lo afirmado. Veremos en el próximo post que la transformación es invertible. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 29 de Mayo, 2015, 7:50
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Me llegó un nuevo temario del Café Filosófico de Buenos Aires. Para más información sobre el lugar, horarios, costo, visitar el sitio:
Cuantos autores citados, y un tema tan interesante! Tengo que estudiar los trabajos de Simon y Kahneman (el primero influyó algo en muchos temas de mis estudios desde hace treinta años). Casi ya no recordaba a María Soledad Rosas, ver http://www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/radar/9-820-2003-07-09.html Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Mayo, 2015, 7:25
Publicado el 24 de Mayo, 2015, 19:19
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En las expresiones clásicas del post anterior, apareció varias veces la frecuencia:
En realidad, son varias, una por cada estado estacionario n. La idea es que en los tiempos de Heisenberg se sabía que había "estados estacionarios" de los electrones en el átomo, desde el modelo de Bohr. Estados donde el electrón no radia energía. Era un postulado extraño, porque en la teoría clásica, cualquier carga eléctrica en movimiento debía radiar algo de energía en forma de radiación. Pero desde el modelo de Bohr, se vió que era útil suponer que hay estados así, que no emiten radiación. En ese caso, el electrón correspondiente no pierde energía por moverse en su "órbita". La frecuencia omega(n) mencionada arriba correspondería a la frecuencia fundamental de ese electrón que tendría que radiar ese electrón. También cabría esperar que pueda radiar en múltiplos de esa frecuencia:
Donde alfa es un número entero. El análisis de Heisenberg trata a un electrón moviéndose en una sola dimensión. Por eso estuvimos hablando de calcular para cada n, la evolución de la coordenada de ese electrón en el tiempo. Suponiendo ese movimiento periódico con frecuencia omega(n), su expansión general en serie de Fourier es:
Recordemos: esta es la expresión más general del movimiento periódico en una dimensión. Desde Fourier, con algunas condiciones mínimas, se sabe que existe esta expansión, y luego, con los trabajos de Heine y notablemente Cantor (ver Series de Fourier, Heine y Cantor), se sabe que la expansión es única. Supongamos que n está fija o determinada de antemano. Heisenberg se preguntó entonces: si x(t) (para un n dado) se puede representar con la fórmula de arriba, ¿cuál es la expresión para su cuadrado? Es decir para
Esta pregunta se la hace porque es común en física usar las potencias de las magnitudes físicas, y si quiere construir un símil cuántico a lo clásico, analiza primero cuál es la expansión clásica de esta expresión, para luego ver de buscar la expresión cuántica de su nueva teoría. Como x(t) = x(n, t) para n fijo, es una serie infinita, su cuadrado es la multiplicación de esas dos series. Y resulta una serie, de Fourier de nuevo, donde cada término tiene un factor que multiplica a la frecuencia, digamos beta:
Cada término de esta nueva expresión es la suma de todas las multiplicaciones de los factores originales, que de a pares producen un beta como resultado. Es decir:
Es decir, la frecuencia fundamental es la misma, omega(n). Los coeficientes beta recorren todos los enteros, igual que antes los alfa. Lo que cambian son los factores a beta, que podemos ver como el "peso" de cada término. Tenemos entonces:
Este sería el camino clásico: x(t) en un estado estacionario n es INDEPENDIENTE de todos los demás estados. Vamos a ver en los próximos post, que en el modelo cuántico no es tan simple: x(t) y sus potencias dependerán también de otros estados. ¿Por qué se da esto? Porque desde el modelo de Bohr se vió que LAS FRECUENCIAS emitidas/absorbidas NO SON DEPENDIENTES de un estado, de su frecuencia fundamental SINO que son la diferencia de frecuencias entre DOS estados. En el modelo cuántico hay un entrelazado de estados, y siempre un estado puede pasar a otro, con cierta probabilidad. Curiosamente, este concepto de probabilidad aplicado a lo que puede pasar en un estado físico fue introducido por Einstein, en un artículo de 1917, fundamental para entender desarrollos como el maser y el laser; pero a Einstein nunca le gustó que esa probabilidad fuera esencial, no explicable por algún otro estado interno. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Mayo, 2015, 6:10
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De nuevo comparto por acá el temario de otra edición del Café Filosófico de Buenos Aires. Pueden ver lugar, horarios, costo, más información en: http://www.filosofiaparalavida.com.ar/ Lo comparto como me llegó, sin acentos, los fragmentos del tema:
No conocía el trabajo de Daniel Gilbert. Es muy importante conocer estos temas, todos tenemos momentos de cambio en la vida. Personalmente, yo he vivido y sigo viviendo cambios en estos últimos tiempos, que seguramente afectarán mi futuro. Es interesante ver cómo, en el ámbito académico, "felicidad" se llama "bienestar subjetivo". Espero que eso delimite mejor algunos conceptos, siempre sin olvidar que lo que quede afuera puede ser igualmente importante. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Mayo, 2015, 16:14
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Más temas de geometría, a veces puros, otras veces demostrando su relación con la física. En este último siglo se ha ido redescubriendo el poder de la geometría, con conceptos independientes de coordenadas, o con la aplicación de las ideas de Gauss-Riemann en la relatividad. Nikola Tesla 3 6 9 - YouTube La circunferencia de Conway - Gaussianos | Gaussianos [Video] Todos los triangulos son equilateros - Gaussianos | Gaussianos ¿Que es un radian? - Gaussianos | Gaussianos Demostracion visual de la relacion entre media aritmetica y media geometrica - Gaussianos | Gaussianos Fraccion en poliedro - Gaussianos | Gaussianos Suslov Nikolay: Curved Space Explorer for Squeak Veblen biography L OME en Requena - Problema 3 - Gaussianos | Gaussianos Original manera de cortar una tarta circular en cuatro trozos de igual tamaño - Gaussianos | Gaussianos Me gustan los triangulos... | Naukas Bootstrap soft question - Visually stunning math concepts which are easy to explain - Mathematics Stack Exchange La paradoja de la copa de Martini... integral | Naukas Desigualdad en un octógono - Gaussianos | Gaussianos Spin structure - Wikipedia, the free encyclopedia Los conceptos de campo, particula, particula virtual y vacio | La Ciencia de la Mula Francis Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Mayo, 2015, 17:18
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Comencemos nuestro camino investigando la luz. Cuando Newton estudió la luz, descubrió que la luz blanca es en realidad una mezcla de colores. Separó la luz blanca usando un prisma, en varios colores, pero cuando tomó la luz de un color, digamos roja, y la volvió a pasar por otro prisma, ya no obtuvo más colores. Algo en el prisma toma los colores y los separa, y esa propiedad que tiene la luz emergente se conserva hasta llegar al otro prisma, lo cual suena razonable. Es como que el prisma filtra la luz por alguna propiedad permanente, que no va cambiando con el tiempo. Los colores que encontró Newton se pueden llamar entonces puros (en realidad esa luz se puede separar más apelando a la polarización, ver algunos conceptos en La polarización del fotón, por Dirac). Cuando hablamos de la luz, en esta serie de posts, no es sólo de la luz que podemos ver, de rojo a azul. La luz visible ha resultado ser sólo una parte de la radiación electromagnética, y corresponde a un rango de frecuencias. De hecho, los colores son la forma que tenemos de diferenciar las frecuencias en nuestros sentidos. No podemos ver la luz ultravioleta, pero afecta igual a las placas fotográficas. Es luz, solamente que su frecuencia es invisible a nuestros sentidos. Si seguimos explorando otras frecuencias, nos encontramos con rayos X, rayos gamma, y más. Si en vez de seguir más allá del azul, bajamos la frecuencia desde el rojo, encontramos luz infrarroja, ondas de televisión, y ondas de radio. Todas son "luz". Podemos usar la luz roja para muchos ejemplos, pero la teoría de la electrodinámica cuántica se extiende a todo el espectro de frecuencias. Newton pensaba que la luz estaba constituída por partículas (él las llamaba corpúsculos) y el tiempo le dio la razón, aunque las razones que usó eran erróneas. Ahora sabemos que la luz está compuesta de partículas porque hemos conseguido construir y operar instrumentos delicados, donde detectamos la luz que incide. Cuando la luz llega al aparato, se producen "clicks". Cuando la luz disminuye, se producen menos "clicks". Pero por más que disminuya la luz, nunca se produce o detecta "medio click". Este es el gran descubrimiento de la física cuántica. Entonces, la luz es como gotas de lluvia, y todas las gotas de la luz de un color puro, son del mismo "tamaño". El ojo humano es un gran instrumento. Con sólo cinco o seis fotones que reciba se activa una célula y se envía un mensaje al cerebro. Pero si hubiera sido más sensible, hubiéramos detectado la luz fotón a fotón, y no nos asombraría el hecho de que la luz son partículas. En el próximo post, veremos cómo es posible detectar un fotón simple. Es importante la descripción, porque sino siempre queda como algo no bien explicado en la divulgación científica. Recordemos que una cosa es la teoría (el modelo propuesto) y otra los experimentos. Tenemos que examinar este experimento de "detectar un solo fotón" por vez. Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter" Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 9 de Mayo, 2015, 18:12
Publicado el 8 de Mayo, 2015, 2:08
Publicado el 3 de Mayo, 2015, 15:22
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Ha sido un mes intenso, tiempo de revisar mis resolucione de abril, y escribir las nuevas de mayo. - Seguir mi serie sobre la Hipótesis de Riemann [completo] ver post Además escribí sobre: Matemáticas y Realidad (4) Michael Atiyah Las resoluciones para mayo: - Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales De nuevo, un mes exigente, veremos cuánto tiempo puedo dedicar a estos temas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Mayo, 2015, 4:07
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Examinemos hoy una "multiplicación" de funciones que nos va a servir para entender el trabajo de Fourier. No quedará todavía claro en este post su uso en el desarrollo de Fourier. Pero podemos intuir una analogía geométrica: las funciones que vamos a considerar, "multiplicadas" por sí mismas darán un número, la unidad. Y multiplicadas entre sí (funciones distintas) darán cero. Es similar al producto de vectores ortogonales, normalizados. Nada más que esta vez estaremos en un espacio vectorial donde los vectores son funciones, y la dimensión es infinita numerable. Hoy no trataremos todavía cuáles son las funciones que vamos a considerar (seno de nx, coseno de nx, variando n por los valores enteros), solamente plantearemos una definición de multiplicación de funciones. Necesitamos una operación de multiplicación, que dada dos funciones de una variable real, que produzcan reales, nos dé como resultado un número real. Podríamos tomar como multiplicación de las funciones f, g, al producto de su valor en el punto 0 (cero):
Pero no nos va a servir de mucho. Veamos de sumar la multiplicación de varios puntos. Si comenzamos por ese camino, podemos generalizar la suma a una integración:
Tal vez en un intervalo. Como Fourier estaba interesado en funciones periódicas, de periodo 2 pi, donde para todo x real se cumple:
Vamos a definir la multiplicación de f, g como la integración en el intervalo que va desde menos pi a mas pi:
Las funciones f, g tendrán que cumplir algunos requisitos para que esta integración tenga un resultado válido. Las funciones que vamos a considerar no tendrán mayor problema: serán continuas, acotadas en el intervalo menos pi a mas pi, y hasta tendrán periodo 2 pi. En el próximo posts veremos cómo esas funciones (seno nx, coseno nx) se multiplican y descubriremos que son "ortogonales", es decir, multiplicando funciones distintas obtendremos cero, y multiplicando una función por sí misma, obtendremos la unidad, el uno. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Mayo, 2015, 12:51
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Hoy encontré en una lista de correo, un mensaje citando este texto de budismo zen:
Así es. Recordemos esto cada día. Angel |