Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Mayo, 2015, 4:07

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Examinemos hoy una "multiplicación" de funciones que nos va a servir para entender el trabajo de Fourier. No quedará todavía claro en este post su uso en el desarrollo de Fourier. Pero podemos intuir una analogía geométrica: las funciones que vamos a considerar, "multiplicadas" por sí mismas darán un número, la unidad. Y multiplicadas entre sí (funciones distintas) darán cero. Es similar al producto de vectores ortogonales, normalizados. Nada más que esta vez estaremos en un espacio vectorial donde los vectores son funciones, y la dimensión es infinita numerable. Hoy no trataremos todavía cuáles son las funciones que vamos a considerar (seno de nx, coseno de nx, variando n por los valores enteros), solamente plantearemos una definición de multiplicación de funciones.

Necesitamos una operación de multiplicación, que dada dos funciones de una variable real, que produzcan reales, nos dé como resultado un número real. Podríamos tomar como multiplicación de las funciones f, g, al producto de su valor en el punto 0 (cero):

Pero no nos va a servir de mucho. Veamos de sumar la multiplicación de varios puntos. Si comenzamos por ese camino, podemos generalizar la suma a una integración:

Tal vez en un intervalo. Como Fourier estaba interesado en funciones periódicas, de periodo 2 pi, donde para todo x real se cumple:

Vamos a definir la multiplicación de f, g como la integración en el intervalo que va desde menos pi a mas pi:

Las funciones f, g tendrán que cumplir algunos requisitos para que esta integración tenga un resultado válido. Las funciones que vamos a considerar no tendrán mayor problema: serán continuas, acotadas en el intervalo menos pi a mas pi, y hasta tendrán periodo 2 pi.

En el próximo posts veremos cómo esas funciones (seno nx, coseno nx) se multiplican y descubriremos que son "ortogonales", es decir, multiplicando funciones distintas obtendremos cero, y multiplicando una función por sí misma, obtendremos la unidad, el uno.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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