Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Mayo, 2015, 20:10

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Tomemos una forma de orden n, con m variables:

De esta forma general podemos derivar otra forma, expresando las m variables originales con funciones de otras m variables:



...

Donde estas nuevas m funciones son todas formas del mismo orden.

Esta operación es llamada transformación, las nuevas variables son las x" (x prima), y la forma resultante:

Es llamada la forma transformada.

Hay transformaciones más interesantes que otras. Tomemos transformaciones lineales:




Los alfa se llaman los coeficientes de la transformación. La forma transformada entonces es:


Una propiedad interesante de la transformada es que tiene el mismo orden que la original. Es un poco trabajoso demostrarlo, veamos algunos puntos.

El término general de la forma original es:

Donde la suma de los exponentes de las variables es:

Y se transforma a:

Los términos del primer polinomio elevado a v1, son términos homogéneos en los alfa y en los x primas, de orden v1. Y así con las demás potencias desarrolladas del resto de los polinomios lineales.

Cada término final es el producto de un término homogéneo de alfas y x primas de orden v1, por un término homogéneo de alfas y x primas de orden v2, por .. y así, llegando a ser cada término final homogéneo de orden v1+v2+…+vm = n, en alfas y equis primas.

Si sumamos los coeficientes de los términos que tengan la misma distribución de variables x prima (que tengan los mismos exponentes), el coeficiente resultante es homogéneo lineal en los coeficientes originales ci, y homogéneo de orden n en los coeficientes originales alfa.

Como les decía, es algo trabajoso verlo en detalle, veamos un ejemplo en concreto.

Sea la forma original de dos variables, y segundo orden:

Sea la transformación lineal:


Aplicando la transformación, queda:

Donde:



Lo que muestra de forma más concreta lo afirmado.

Veremos en el próximo post que la transformación es invertible.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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