Publicado el 28 de Junio, 2015, 13:25
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Quedó pendiente el tema de explicar cómo se puede detectar un solo fotón. Hubo un tiempo en que los fenómenos de la física cuántica, como la interferencia de partículas actuando como ondas, se pensó que era de naturaleza estadística, fruto de la interacción entre muchas partículas (en el caso que estamos tratando, la luz, esas partículas serían los fotones, pero no quiero adelantarme mucho). Pero luego se vió que aún la interferencia (un fenómeno de ondas) aún se producía con una sola partícula. No tengo los detalles históricos, ya alrededor del 30 de siglo pasado se sabía esto. Desconozco cuándo se comprobó experimentalmente por primera vez, pero ahora paso a describir una forma de detectar fotones "de a uno". Para eso, se apela a un fotomultiplicador, toma la imagen de la Wikipedia:
Un fotón llega al fotocátodo de la izquierda, un material preparado para emitir electrones al recibir fotones con cierta energía, debido al efecto fotoeléctrico. El electrón liberado es arrastrado por el campo existente hacia el ánodo del extreme derecho, ganando energía cinética. Puede alcanzar el primer elemento llamado dinodo, que entonces libera más electrones. Estos electrones se siguen acelerando, pudiendo alcanzar el segundo dinodo, y liberando entonces más electrones. El proceso se repite, de tal forma que al ánodo de la derecha llega una cataracta de electrones, fácilmente detectables. Todo esto depende de muchas variables, como la energía del fotón incidente, y la sensibilidad del fotocátodo y los dinodos. Pero el instrumento se puede calibrar, para que la catarata resultante sea proporcional a la cantidad de fotones incidentes. Cuando SOLO UN FOTON incide en un tiempo determinado, se lo sabe por la intensidad de la corriente de electrones que llegan al ánodo. Lo importante para nosotros: en los experimentos, sólo se registre o cero catarata, o una catarata proporcional a UN FOTON, nunca una media catarata o un cuarto de catarata. Esa es la evidencia experimental que nos permite afirmar cosas sobre un sólo fotón. En experimentos más complicados, se colocan varios fotomultiplicadores, distribuidos espacialmente para detectar los fotones que surgen de algún experimento, y cuando esos fotones "salen de a uno", sólo un fotomultiplicador a lo sumo lo detecta, nunca se detecta "medio fotón acá" y "medio fotón allá". Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Junio, 2015, 20:38
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Hubo un tema que quedó sin explicar y es el principio de correspondencia de Bohr, mencionado en el tercer post. Si bien Heisenberg lo menciona, no lo explica. Sería interesante plantearlo en concreto, porque muy pocas veces he encontrado un ejemplo explicado en detalle. Comenzemos con algunas ideas del modelo atómico de Bohr, propuesto en 1913, donde todavía había órbitas circulares para los electrones. Se tiene que cumplir la ley de Newton:
O sea, fuerza igual a masa por aceleración. Si tenemos un átomo de hidrógeno, con carga eléctrica e en el electrón y en el núcleo, la fuerza de atracción de Coulomb es:
Donde Z = 1 en un átomo de hidrógeno (es la carga del núcleo). Y la aceleración en un movimiento circular es:
Con lo que nos queda:
Según el modelo de Bohr, el impulso angular es constante e igual:
Pero está cuantizado, es decir, no puede tomar cualquier valor, sino que toma:
Donde n es un número natural, y por conveniencia escribo:
(en la literatura no van a ver h barra, sino h con una barra horizontal tachando el tramo superior de la hache, pero no tengo ese carácter acá). Entonces se deduce que:
Donde podemos despejar el radio r de la órbita como:
Y la velocidad es:
El principio de correspondencia, según https://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_principle dice que la conducta de un sistema descripta por la teoría cuántica antigua reproduce los resultados físicos de la teoría clásica en el límite de números cuánticos grandes. No queda muy claro así, porque sin un ejemplo concreto no se sabe bien qué es eso de "en el límite" y por qué números cuánticos aparece en plural. Según la teoría clásica, el electrón que describimos tiene un tiempo de revolución igual a longitud de la órbita dividida por la velocidad. Y el inverso de ese tiempo, es la frecuencia de revolución, que queda expresada entonces por:
Como el electrón es una carga en movimiento, la teoría clásica predice que va a emitir radiación, con la misma frecuencia que la frecuencia de revolución que encontramos en la anterior fórmula. Pero según Bohr, la frecuencia depende del salto entre dos estados cuánticos, el estado inicial y final, caracterizados por su energía:
Según el modelo de Bohr, cada nivel de energía corresponde a un número cuántico n:
(les debo la deducción detallada de Bohr). Con lo cual, la frecuencia a emitir entre los dos niveles inicial y final es:
Supongamos que esos números son grandes. Tienen que ser distintos, para no anular la expresión anterior, entonces lo más grande que puede ser el número final es cumpliendo:
Llamando a ni (n inicial) directamente n, queda:
Y si hacemos n muy grande, la expresión:
Tiende a:
Con lo que la expresión clásica para la frecuencia, y la expresión cuántica para números cuánticos grandes, se aproximan para valores grandes de los n. El principio de correspondencia también dice que esa relación entre n inicial y n final, llamada regla de selección, también se aplica con números cuánticos chicos. Pero acá en el átomo de hidrógeno eso no basta para explicar que hay saltos entre estados donde los n difieren en MAS de una unidad. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 25 de Junio, 2015, 7:52
Publicado el 21 de Junio, 2015, 19:31
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En el post anterior, vimos rotaciones en tres dimensiones. Y encontramos un generador de las rotaciones alrededor del eje z, lo llamamos Mz:
Pudimos obtener cualquier rotación alrededor del eje z, aplicando ese generador, de forma que cada rotación en ángulo theta, es:
Donde
Vemos que Mz es hermítica, es decir, que es igual a su traspuesta conjugada. Las matrices hermíticas sobre los complejos cumplen un papel similar a las matrices simétricas sobre los reales. Se sabe que se puede cambiar de base una matriz hermítica, y transformarla en una matriz diagonal. Todavía no necesitamos conocer ese hecho. Se expresa que H es hermítica:
Donde el asterisco indica trasposición y tomar complejo conjugado. Veamos que las rotaciones así obtenidas, tienen matrices unitarias, que cumplen que su transpuesta conjugada es su inversa, es decir:
Pues bien, operando formalmente:
Pero sabiendo que Mz es hermítica:
Queda:
Lo que muestra que la rotación es unitaria. Pero esto es operar formalmente. Tendríamos que calcular la transpuesta conjugada de la rotación:
Lo que da:
Y tener en cuenta que Mz es hermítica:
Y al multiplicar esta expansión por la expansión original de R(theta), obtener la matriz unidad. Es algo trabajoso, pero se puede obtener los primeros coeficientes de la multiplicación de las dos series infinitas de sumas de matrices, agrupando por potencia resultante de H. El término para I (o sea, H "elevada a la cero"), es el resultado de multiplicar dos términos de las series originales:
El término para H, es el resultado de sumar dos multiplicaciones de dos términos de las series originales:
El término para H al cuadrado es:
Y así podemos seguir, comprobando que cada coeficiente termina siendo cero. De esta forma queda demostrado que U es unitaria, cuando Mz es hermítica. Los otros generadores son (se pueden deducir de la misma forma que Mz) Mx:
Y My:
Todas las rotaciones generadas por cada generador Mx, My, Mz, es unitaria. Y la multiplicación de unitarias es también unitaria. Resulta entonces que nuestras rotaciones en tres dimensiones, con coeficientes complejos, se expresan todas con matrices unitarias. En el próximo post veremos algunas relaciones entre los generadores Mi, si conmutan entre sí, y otras relaciones. Estamos todavía un poco lejos de su relación con las partículas elementales, pero ya vamos teniendo idea de cómo las rotaciones en un espacio abstracto complejo pueden ser caracterizadas por los generadores correspondientes. Vamos a descubrir el papel de esos generadores en la física de partículas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Junio, 2015, 19:19
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Inicio hoy otra serie ambiciosa de posts, matemáticos. Hay un tema que cada tanto aparece en mis lecturas, y es el de números algebraicos. Tiene relación con la teoría de cuerpos conmutativos, teoría de Galois, y otros. Ha sido estudiado en profundidad desde el siglo XIX, como una parte de la teoría de números, por ejemplo, en el estudio general de la factorización en cuerpos conmutativos. Comencemos viendo una definición. Suponemos que estamos trabajando con números reales y complejos, y buscando soluciones a polinomios en una variable. Un número se dice algebraico si es solución de un polinomio igualado a 0:
Donde todos los coeficientes son números racionales, y el término de mayor grado tiene coeficiente unidad. Es fácil ver que una expresión así es equivalente se puede convertir a:
Donde todos los coeficientes b son números enteros, multiplicando todos los coeficientes racionales originales por un número entero adecuado, para convertir esos coeficientes en números enteros. Tampoco se pierde generalidad, si se multiplican todos los coeficientes de la ecuación por un número racional no nulo. Sus soluciones siguen siendo números algebraicos, aún cuando el término principal (el de mayor grado) no tenga coeficiente unidad. Todos los números racionales son números algebraicos, porque cada racional:
Con coeficientes a, b enteros, es la solución de:
Y entonces, de:
Si un número algebraico es la solución de un polinomio como el presentado al comienzo, pero con coeficientes ENTEROS (el término de mayor grado de x sigue teniendo coeficiente igual a uno), se dice que es un entero algebraico. Todos los números enteros son enteros algebraicos. Uno podría esperar que los enteros y racionales sean todos los números algebraicos que podemos encontrar, pero notablemente, ecuaciones como:
Tienen coeficientes enteros, con coeficiente principal uno, y sin embargo, con soluciones no racionales:
Ese es el sabor especial de los números algebraicos: van más allá de los números enteros y racionales. Sea el número alfa:
satisfaciendo:
Con coeficientes racionales. Dividiendo por ese número alfa, elevado a la potencia n, se obtiene:
Donde se ve que el inverso de ese número también satisface una ecuación como la que se pide para los números algebraicos. No es tan simple probar que la suma y el producto de dos números algebraicos sea también algebraico. Por ahora, lo damos por supuesto, pueden ver: http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic Una parte de esta serie estará destinada a probar esos resultados. Esas propiedades de clausura (suma, resta, multiplicación, división de números algebraicos dan números algebraicos) permite tratar sistemas de números algebraicos como tratamos otros sistemas cerrados de números, notablemente los racionales. Hay algo de las propiedades de los números racionales que impregna a esos sistemas de números algebraicos. Y veremos que el concepto de entero algebraico también comparte características con el de número entero. Fuentes consultadas: The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de Legh Wilber Reid (con una breve introducción de David Hilbert), y el monumental The Theory of Algebraic Number Fields, de David Hilbert, que ya comenté en la serie David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Junio, 2015, 7:20
Publicado el 14 de Junio, 2015, 20:33
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Estábamos estudiando la transformación:
La podemos representar como multiplicación de matrix cuadrada y vector:
Podemos expresar con notación abreviada:
Donde ahora las equis son vectores, y la A es la matriz de los coeficientes alfa. Si suponemos que la matriz es invertible (tiene inversa), entonces:
Los elementos de la matriz inversa se pueden expresar como fracción de los determinantes menores y el determinante total. (el determinante menor del elemento i,j, es el determinante de la matriz que queda sacando la fila i y la columna j, y dándole un signo apropiado, dependiendo de si i+j es par o no). Si llamamos B al número determinante de A, y Bij a los determinantes menores, podemos siempre recordar que la transformación inversa se puede expresar como:
Es decir, la transformación es invertible, si y sólo si la matriz A es invertible. Esto induce un esquema de grupo entre transformaciones lineales de este tipo, donde cada elemento del grupo tiene inverso, el elemento unidad es la transformación unidad (representada por la matriz unidad), y donde la composición de transformaciones es la operación de grupo (representada por la multiplicación de las matrices). Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Junio, 2015, 6:55
Publicado el 11 de Junio, 2015, 7:44
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Desconozco el autor de la idea, no lo recuerdo. Nunca leí el cuento original, esto lo leí en una historia dibujada por Altuna, será ya hace dos décadas. En estos días, la pasé, como pude, en mis palabras:
Angel |
Publicado el 10 de Junio, 2015, 5:40
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Vuelvo a compartir el temario de unas de las reuniones que se van a realizar en el Café Filosófico de Buenos Aires, en esta semana. Más información sobre las actividades y el grupo (costos, horarios, lugar, etc...) en: http://www.filosofiaparalavida.com.ar/ Muchas veces el tema ronda las neurociencias y el comportamiento humano. Me parece interesante el difundir las neurociencias, y la actividad científica en general. No comparto en parte el título de esta charla. Es difícil saber qué es eso de "emociones positivas", cómo calificar de "positiva" una emoción, y también es como que es fácil caer en la lectura: "si tenemos emociones positivas vamos a estar mejor" y esas cosas. Veamos el temario (sin acentos, como me llegó):
Temas interesantes, a tratar y estudiar. Por ejemplo, lo de las neuronas espejo, es un tema que ha sido tomado para muchas cosas, y es un tema a revisar, a darle el verdadero valor que tiene, sin que llegue a afirmaciones sin sustento real. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Junio, 2015, 7:04
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Sigo leyendo el libro "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock, que mencioné en el post de ayer. Al comienzo, el autor comenta la importancia del estudio de la historia en una ciencia.
La historia de este tema, el surgimiento de la mecánica cuántica, es fascinante. El aspecto científico de su desarrollo lo estoy tratando en mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Pero también me gustaría tratar el tema del desarrollo personal, las relaciones que se tejieron, las ideas en lucha, los modelos propuestos, las influencias recibidas por cada uno de los protagonistas. Es interesante lo que menciona el autor a continuación, sobre la aceptación de la sociedad por el desarrollo de la ciencia:
Lo bueno de esta historia, es que es relativamente reciente, y bastante documentada. Y pone en juego todo lo que conocemos como actividad científica, principalmente la creación de modelos, la compulsa con el experimento, y la formación de conceptos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 7 de Junio, 2015, 11:36
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En estos días estoy leyendo el excelente "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock. Es parte de lo que estoy estudiando como apoyo de mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Además, en estas semanas, han aparecido biografías de científicos relacionadas con el tema, publicadas acá en Argentina por el diario La Nación, como reimpresión de una serie española de RBA. Y ayer sábado, en esa serie, apareció el volumen que buscaba: la biografía de Dirac, un personaje fascinante de esta historia. Y además sigo estudiando el "paper" original de Heisenberg, para la serie Entendiendo a Heisenberg. Me gustaría compartir hoy un texto del comienzo de libro de Peacock, que pone en sus palabras mucho de lo que quisiera suscribir yo mismo. Leo:
Eso es lo fascinante de la historia de la mecánica cuántica (que para mí abarca hasta alrededor de 1935, luego sigue la física cuántica en general, con la aparición de física de campos cuánticos y derivados, teorías gauge, modelo estándar y demás). No conozco a qué se refería con la "dramática historia" de David Bohm, si a su persecución política, o a sus episodios de depresión, con tratamiento eléctrico. Pero así es la historia de la ciencia: no hay un progreso liso, constante, sino que es el entrecruzar de ideas, conceptos, modelos, prejuicios y actitudes humanas. La ciencia es una actividad humana, no el producto directo y claro de seguir unos pasos predeterminados. Hay creatividad, sentimiento e imaginación. Y trabajo duro, experimentos, recolección de datos, mejores instrumentos, y la humana actividad de creación de modelos explicativos de la realidad encontrada. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Junio, 2015, 5:32
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Nuevo mes, ya casi a mitad de año, primero, repaso mis resoluciones de mayo: - Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales [pendiente] (me había equivocado, había puesto "sobre números algebraicos" en la última tarea, pero quise referirme a mis serie ya iniciada sobre invariantes) Estuve ocupado en temas personales (como cambio de trabajo, estudiar mucha guitarra/blues). También escribí: Veo de seguir insistiendo con algunos temas en junio, y con alguno nuevo - Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales Temas ambiciosos, pero que me fascinan. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |