Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Junio, 2015, 19:19

Inicio hoy otra serie ambiciosa de posts, matemáticos. Hay un tema que cada tanto aparece en mis lecturas, y es el de números algebraicos. Tiene relación con la teoría de cuerpos conmutativos, teoría de Galois, y otros. Ha sido estudiado en profundidad desde el siglo XIX, como una parte de la teoría de números, por ejemplo, en el estudio general de la factorización en cuerpos conmutativos.

Comencemos viendo una definición. Suponemos que estamos trabajando con números reales y complejos, y buscando soluciones a polinomios en una variable. Un número se dice algebraico si es solución de un polinomio igualado a 0:

Donde todos los coeficientes son números racionales, y el término de mayor grado tiene coeficiente unidad. Es fácil ver que una expresión así es equivalente se puede convertir a:

Donde todos los coeficientes b son números enteros, multiplicando todos los coeficientes racionales originales por un número entero adecuado, para convertir esos coeficientes en números enteros. Tampoco se pierde generalidad, si se multiplican todos los coeficientes de la ecuación por un número racional no nulo. Sus soluciones siguen siendo números algebraicos, aún cuando el término principal (el de mayor grado) no tenga coeficiente unidad.

Todos los números racionales son números algebraicos, porque cada racional:

Con coeficientes a, b enteros, es la solución de:

Y entonces, de:

Si un número algebraico es la solución de un polinomio como el presentado al comienzo, pero con coeficientes ENTEROS (el término de mayor grado de x sigue teniendo coeficiente igual a uno), se dice que es un entero algebraico. Todos los números enteros son enteros algebraicos.

Uno podría esperar que los enteros y racionales sean todos los números algebraicos que podemos encontrar, pero notablemente, ecuaciones como:

Tienen coeficientes enteros, con coeficiente principal uno, y sin embargo, con soluciones no racionales:

Ese es el sabor especial de los números algebraicos: van más allá de los números enteros y racionales.
Otra sorpresa, no evidente, es que la suma, producto y división de dos números algebraicos, es también un número algebraico. Esta propiedad no es fácil de probar. Veamos primero que el inverso de un número algebraico no nulo, es algebraico.

Sea el número alfa:

satisfaciendo:

Con coeficientes racionales. Dividiendo por ese número alfa, elevado a la potencia n, se obtiene:

Donde se ve que el inverso de ese número también satisface una ecuación como la que se pide para los números algebraicos. No es tan simple probar que la suma y el producto de dos números algebraicos sea también algebraico. Por ahora, lo damos por supuesto, pueden ver:

http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

Una parte de esta serie estará destinada a probar esos resultados. Esas propiedades de clausura (suma, resta, multiplicación, división de números algebraicos dan números algebraicos) permite tratar sistemas de números algebraicos como tratamos otros sistemas cerrados de números, notablemente los racionales. Hay algo de las propiedades de los números racionales que impregna a esos sistemas de números algebraicos. Y veremos que el concepto de entero algebraico también comparte características con el de número entero.

Fuentes consultadas: The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de Legh Wilber Reid (con una breve introducción de David Hilbert), y el monumental The Theory of Algebraic Number Fields, de David Hilbert, que ya comenté en la serie David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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