Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Junio, 2015, 19:31

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En el post anterior, vimos rotaciones en tres dimensiones. Y encontramos un generador de las rotaciones alrededor del eje z, lo llamamos Mz:

Pudimos obtener cualquier rotación alrededor del eje z, aplicando ese generador, de forma que cada rotación en ángulo theta, es:

Donde

Vemos que Mz es hermítica, es decir, que es igual a su traspuesta conjugada. Las matrices hermíticas sobre los complejos cumplen un papel similar a las matrices simétricas sobre los reales. Se sabe que se puede cambiar de base una matriz hermítica, y transformarla en una matriz diagonal. Todavía no necesitamos conocer ese hecho. Se expresa que H es hermítica:

Donde el asterisco indica trasposición y tomar complejo conjugado. Veamos que las rotaciones así obtenidas, tienen matrices unitarias, que cumplen que su transpuesta conjugada es su inversa, es decir:

Pues bien, operando formalmente:

Pero sabiendo que Mz es hermítica:

Queda:

Lo que muestra que la rotación es unitaria. Pero esto es operar formalmente. Tendríamos que calcular la transpuesta conjugada de la rotación:

Lo que da:

Y tener en cuenta que Mz es hermítica:

Y al multiplicar esta expansión por la expansión original de R(theta), obtener la matriz unidad. Es algo trabajoso, pero se puede obtener los primeros coeficientes de la multiplicación de las dos series infinitas de sumas de matrices, agrupando por potencia resultante de H. El término para I (o sea, H "elevada a la cero"), es el resultado de multiplicar dos términos de las series originales:

El término para H, es el resultado de sumar dos multiplicaciones de dos términos de las series originales:

El término para H al cuadrado es:

Y así podemos seguir, comprobando que cada coeficiente termina siendo cero. De esta forma queda demostrado que U es unitaria, cuando Mz es hermítica.

Los otros generadores son (se pueden deducir de la misma forma que Mz) Mx:

Y My:

Todas las rotaciones generadas por cada generador Mx, My, Mz, es unitaria. Y la multiplicación de unitarias es también unitaria. Resulta entonces que nuestras rotaciones en tres dimensiones, con coeficientes complejos, se expresan todas con matrices unitarias.

En el próximo post veremos algunas relaciones entre los generadores Mi, si conmutan entre sí, y otras relaciones. Estamos todavía un poco lejos de su relación con las partículas elementales, pero ya vamos teniendo idea de cómo las rotaciones en un espacio abstracto complejo pueden ser caracterizadas por los generadores correspondientes. Vamos a descubrir el papel de esos generadores en la física de partículas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia