Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Junio, 2015, 20:38

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Hubo un tema que quedó sin explicar y es el principio de correspondencia de Bohr, mencionado en el tercer post. Si bien Heisenberg lo menciona, no lo explica. Sería interesante plantearlo en concreto, porque muy pocas veces he encontrado un ejemplo explicado en detalle.

Comenzemos con algunas ideas del modelo atómico de Bohr, propuesto en 1913, donde todavía había órbitas circulares para los electrones. Se tiene que cumplir la ley de Newton:

O sea, fuerza igual a masa por aceleración. Si tenemos un átomo de hidrógeno, con carga eléctrica e  en el electrón y en el núcleo, la fuerza de atracción de Coulomb es:

Donde Z = 1 en un átomo de hidrógeno (es la carga del núcleo). Y la aceleración en un movimiento circular es:

Con lo que nos queda:

Según el modelo de Bohr, el impulso angular es constante e igual:

Pero está cuantizado, es decir, no puede tomar cualquier valor, sino que toma:

Donde n es un número natural, y por conveniencia escribo:

(en la literatura no van a ver h barra, sino h con una barra horizontal tachando el tramo superior de la hache, pero no tengo ese carácter acá).

Entonces se deduce que:

Donde podemos despejar el radio r de la órbita como:

Y la velocidad es:

El principio de correspondencia, según

https://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_principle

dice que la conducta de un sistema descripta por la teoría cuántica antigua reproduce los resultados físicos de la teoría clásica en el límite de números cuánticos grandes. No queda muy claro así, porque sin un ejemplo concreto no se sabe bien qué es eso de "en el límite" y por qué números cuánticos aparece en plural.

Según la teoría clásica, el electrón que describimos tiene un tiempo de revolución igual a longitud de la órbita dividida por la velocidad. Y el inverso de ese tiempo, es la frecuencia de revolución, que queda expresada entonces por:

Como el electrón es una carga en movimiento, la teoría clásica predice que va a emitir radiación, con la misma frecuencia que la frecuencia de revolución que encontramos en la anterior fórmula.

Pero según Bohr, la frecuencia depende del salto entre dos estados cuánticos, el estado inicial y final, caracterizados por su energía:

Según el modelo de Bohr, cada nivel de energía corresponde a un número cuántico n:

(les debo la deducción detallada de Bohr). Con lo cual, la frecuencia a emitir entre los dos niveles inicial y final es:

Supongamos que esos números son grandes. Tienen que ser distintos, para no anular la expresión anterior, entonces lo más grande que puede ser el número final es cumpliendo:

Llamando a ni (n inicial) directamente n, queda:

Y si hacemos n muy grande, la expresión:

Tiende a:

Con lo que la expresión clásica para la frecuencia, y la expresión cuántica para números cuánticos grandes, se aproximan para valores grandes de los n.

El principio de correspondencia también dice que esa relación entre n inicial y n final, llamada regla de selección, también se aplica con números cuánticos chicos. Pero acá en el átomo de hidrógeno eso no basta para explicar que hay saltos entre estados donde los n difieren en MAS de una unidad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia