Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Julio, 2015, 8:46

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Mencioné en el anterior post la necesidad de buscar nuevas formulaciones matemáticas y conceptos para modelar lo que la física cuántica nos ha traído, desde sus experimentos y resultados, y los primeros atisbos de modelos matemáticos.

Para representar un estado físico, hubo que buscar nuevas formas de hacerlo. El principio de superposición (ver Matemáticas y Física Cuántica (3) Superposición de Estados) y el tener que resolver un estado compuesto de varios estados apelando a la probabilidad, son los dos principales motivos para esa necesidad. Dirac adoptó el concepto matemático de vector para representar un estado físico cuántico. Los vectores son elementos abstractos que se pueden sumar entre sí, con lo que dan soporte natural al principio de superposición. Pero uno podría decir: los números reales también se pueden sumar, ¿por qué entonces es necesario apelar a los vectores? La respuesta es larga, pero lo primero a atisbar es que los vectores, en el caso de ser finitos (más precisamente, ser elementos de un espacio vectorial de dimensión finita), en su uso, suma y otras operaciones, no se olvidan de ser entes compuestos de varios otros vectores elementales básicos, al igual que los estados físicos, que pueden representarse como la combinación de estados físicos de base. Y lo mismo pasa con los vectores de espacios de dimensión infinita, adoptando algunos recaudos. Eso es lo que vió Dirac: los vectores son instrumentos matemáticos donde la superposición de estados puede ser expresada, sin dilución, cosa que no pueden lograr los simples números reales ni aún los números complejos.

Recordemos algunas definiciones matemáticas, sin pretender una rigurosidad extrema. Un espacio vectorial líneal (ver Espacios Vectoriales) es un conjunto de elementos, llamados vectores, que pueden sumarse entre sí y pueden multiplicarse por números, dando como resultado otros vectores. En matemática, esos números son  elementos de un cuerpo; en nuestro tema, de aplicación física, nos bastaran los números complejos, tendremos que estudiar alguna vez por qué no alcanzan los números reales para este cometido). Tenemos que ver cómo, en la teoría de Dirac, podemos obtener algún valor físico de esos vectores que representan estados. Por ejemplo, dado un vector de estado, ¿cómo obtenemos la energía de ese estado? ¿o qué valores de magnitudes físicas podemos obtener de un vector? Pues bien, una de las sorpresas que dio la cuántica es que había magnitudes que podía tomar solo un valor discreto, no continuo, y otras que podían tomar un valor continuo. Estudiaremos que en la teoría de la transformación, esa cantidad discreta (finita o no) o continua de valores posibles está relacionada con la dimensión del espacio vectorial de estados. Pero no nos adelantemos.

Pongamos algunos ejemplos de vectores en general. Los hay discretos, que pueden ser representados por una columna de valores (complejos en nuestro caso):

Los valores en columna pueden aparecer en una cantidad finita, pero no descartemos que puedan ser infinitos.
Y también podemos poner como ejemplo el espacio de funciones de cierto tipo, por ejemplo, las funciones diferenciables de una variable, con rango un intervalo definido. Es claro que la suma de dos de tales funciones también pertenece al mismo espacio, así como la función obtenida por multiplicar una función de tal tipo por un número escalar.

Se dice que un conjunto de vectores:

Es linealmente independiente, si cualquier suma de los mismos:

Es cero SI Y SOLO los coeficientes c son iguales a cero. Es decir, los vectores no pueden anularse entre sí, a no ser de la forma trivial, multiplicando a todos por cero. Si esta condición no se cumple, se dice que ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.

El número máximo de vectores linealmente independiente que se puede encontrar en un espacio se llama la dimensión de ese espacio. Un conjunto maximal de vectores linealmente independiente se llama base del espacio. Decimos maximal en el sentido: no le podemos agregar ningún vector y que siga siendo linealmente independiente. O lo que es lo mismo: todos los demás vectores se pueden expresar por este conjunto.
Todavía no queda claro cómo los vectores pueden aplicarse como modelo en la mecánica cuántica de los tiempos de Dirac. En el próximo post seguiremos todavía con algunos preliminares matemáticos. Tenemos que estudiar el producto interno, una forma de tomar dos vectores y conseguir un escalar, nuestro primer indicio para obtener valores físicos a partir de estados. Y luego operadores lineales, una forma de transformar vectores en otros vectores, llegando en su momento a su significado físico.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia