Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Julio, 2015, 6:30

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Uno de los métodos de demostración de Fermat es el descenso infinito. Ya lo traté en Fermat y el descenso infinito y en Descenso Infinito. Veamos hoy su aplicación a un caso especial de su último teorema.

Se llama triángulo pitagórico a una terna de números naturales (a, b, c) tales que:

Ver Ternas Pitagóricas. Desde los tiempos de Euclides (Elementos, X29, lema 1), se sabe que si (a, b) = 1 (su máximo común divisor es 1), entonces existen números p y q primos entre sí tales que, si tomamos a como par, entonces se da:



(siempre, a o b, es par, y el otro es impar). En una carta a Huygens, Fermat afirma este teorema:

El área de un triángulo pitagórico no puede ser un cuadrado

El área es el producto de los catetos (a y b) divido por 2. Fermat dice que nunca esa área puede ser un número natural cuadrado perfecto. Veamos si es así. El área es:

Sustituyendo los valores de a y b por su expresión en términos de p y q, queda:

Sabemos que p y q son primos entre sí, entonces también lo serán p+q y p-q. En definitiva, si el área de arriba es un cuadrado perfecto, los cuatro factores:




Tienen que ser CADA uno un cuadrado perfecto, porque son todos primos entre sí, no tienen factores primos comunes, y entonces, de la combinación de dos o más de esos factores NO PUEDE SURGIR ningún número cuadrado que no esté YA en los factores originales.

Entonces, cada factor es un cuadrado de otro número, pongamos:




Veamos algo sobre la paridad de u y v. Primero, son relativamente primos. Si no lo fueran, su divisor común mayor a la unidad dividiría a p+q y a p-q, que se supone eran primos relativos, no tenían ningún factor en común. También podemos descartar que AMBOS u y v sean pares. Porque entonces p+q y p-q serían pares, divisibles por un factor común de 2, cuando se supuso que eran primos relativos.

Supongamos que u es par, y v es impar. Entonces p+q sería par y p-q sería impar. Pero entonces b:

sería par, junto con a:

contra lo supuesto, que eran primos entre sí. Por razonamiento similar, podemos descartar que u sea impar y v sea par. En definitiva, u y v son primos relativos e IMPARES.

Avancemos. También sabemos que:

Lo que da que:

Los dos factores de la derecha son suma y resta de DOS IMPARES. Es decir, los dos factores son pares, y su producto es divisible por 4. El lado izquierdo tiene un 2 y un cuadrado perfecto de y, pero al ser divisible por 4, deducimos que el cuadrado perfecto es divisible por 2, con lo cual y es par, y queda que y al cuadrado es divisible por 4. Conclusión: el lado izquierdo es divible al menos 3 veces por 2. Esos tres factores de 2 deben estar repartidos entre los dos factores de la derecha. Queda que:


O al revés. Uno de los factores es un cuadrado multiplicado por 2, y el otro es un cuadrado multiplicado por 4. Sumando y restando queda:


Como

Queda que x al cuadrado es:

Desarrollando queda:


y entonces la terna:

Forma un triángulo pitagórico de área:

QUE ES MENOR QUE EL TRIANGULO DE PARTIDA. Pero oh sorpresa, esa área es un cuadrado perfecto. Volvemos a tener un triángulo pitagórico como el de partida.

Ahora repetimos el proceso, y seguiríamos obteniendo triángulos pitagóricos con áreas cuadrados perfectos cada vez más pequeños, sin límite. Por el argumento de descenso infinito, esto es imposible. Entonces, no hay triángulos pitagóricos con área cuadrada perfecta, pues si hubiera alguno, podríamos obtener triángulos con la misma propiedad, cada vez de menor área, hasta el infinito.

En el próximo post usaremos este teorema para demostrar la imposibilidad del último teorema de Fermat cuando el exponente n es 4.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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