Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 23 de Julio, 2015, 7:08

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Si bien esta serie trata de lagrangianos y hamiltonianos, a nivel de notas, sin profundidad de desarrollo, tengo que confesar que la mayor parte de las referencias han sido a lagrangianos. Cuando se plantea la hamiltinoniana, de nuevo una función como la lagrangiana de la que se PUEDEN DERIVAR las ecuaciones de movimiento de un sistema, ¿qué es lo que cambia? La lagrangiana es función de n variables coordenadas (cartesianas o generalizadas), n variables adicionales que son las derivadas de las anteriores por el tiempo (las velocidades de esas coordenadas), y del tiempo. En cambio, veremos que la hamiltoniana es función de n variables coordenadas, n variables momento (generalizados), y el tiempo. Lo interesante es que las variables coordenadas y las variable momentos están relacionadas ENTRE sí, mediante el propio hamiltoniano. No voy a exponer hoy la fórmula de relación (eso aparecerá en la serie matemática). Pero esto hace que las 2n variables se puedan considerar de alguna forma dos grupos de n variables, uno el espejo del otro. Leo hoy en el excelente "Mecánica Clásica" de Goldstein (capítulo 8):

Los métodos de Hamilton no son particularmente superiores a las técnicas de Lagrange en la solución directa de problemas mecánicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton consiste, más bien, en proporcionar un marco para extensiones teóricas en muchos campos de la Física. En la Mecánica clásica constituye la base para desarrollos ulteriores, tales como la teoría de Hamilton-Jacobi y los métodos de perturbaciones. Fuera de la Mecánica clásica, la formulación de Hamilton proporciona gran parte del lenguaje con el cual se construyen la Mecánica estadística y la Mecánica cuántica de hoy en día...

En la formulación de Lagrange no relativista, un sistema con n grados de libertad posee n ecuaciones de movimiento ....

De la forma:

Como las ecuaciones son de segundo orden, el movimiento del sistema estará siempre determinado cuando se especifiquen 2n valores iniciales [x y x derividad por tiempo] en un instante particular t, o las [n x] en dos instantes de tiempo t1 y t2. El estado del sistema lo representamos por un punto en un espacio de configuraciones de n dimensiones cuyas coordenadas son las n coordenadas generalizas [x] y seguimos el movimiento del punto figurativo del sistema en el transcurso del tiempo cuando recorre su trayectoria en el espacio de las configuraciones. Físicamente, desde el punto de vista de Lagrange, un sistema con n grados de libertad independientes es un problema de n variables independientes [xi(t)] y [xi-punto(t)] es sólo una abreviatura de la derivada de [xi] respecto del tiempo.

La formulación de Hamilton se basa en una visión fundamentalmente diferente. Queremos describir el movimiento mediante ecuaciones de movimiento de primer orden. Como el número de condiciones iniciales que determinan el movimiento ha de seguir siendo 2n, deberá haber 2n ecuaciones independientes de primer orden expresadas en función de 2n variables independientes. Por tanto, las 2n ecuaciones del movimiento describen el comportamiento del punto figurativo del sistema en un espacio fásico cuyas coordenadas son las 2n variables independientes. En una tal duplicación de nuestro sistema de cantidades independientes es natural (aunque no inevitable) tomarlas de manera que la mitad de ellas sean las n coordenadas generalizadas qi. Según veremos, la formulación resulta casi simétrica si tomamos para la otra mitad las cantidades de movimiento conjuntas o generalizadas pi... Las cantidades (q, p) se denominan variables canónicas.

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, podemos pretender que se traten como variables distintas las q y las q-punto. En las ecuaciones de Lagrange... la derivada parcial de L respecto a qi significa una derivada calculada considerando constantes todas las demás q y todas las q-punto. Análogamente, en las derivadas parciales respecto a q-punto, se mantienen constantes las q. Tratada estrictamente como problema matemático, la transición de la formulación de Lagrange a la de Hamilton corresponde a cambiar las variables de nuestras funciones mecánicas de (q, q-punto, t) a (q, p, t), donde p está relacionado con q y q-punto mediante ecuaciones [a ver en la serie matemática de posts]. El método para conmutar las variables de esta manera lo proporciona la transformación de Legendre, planeada precisamente para este tipo de cambios de variable.

Una nota al pie

Una interpretación geométrica de la transformación de Legendre y del papel que desempeña en la teoría de las ecuaciones diferenciales la tenemos en R. Courant y D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II, pp/ 32-39, 1962

Escribo q-punto para referirme a q con un punto arriba, que significa q derivada por tiempo. Habrá más detalle de estos temas, como la transformación de Legendre, en la serie matemática de posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia