Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Julio, 2015, 19:01

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En el anterior post apareció el concepto matemático de operador lineal para obtener valores medios de magnitudes físicas de cada función de estado. Estudiamos por ahora el caso discreto. No podemos obtener más que valores medios, porque un estado cuántico es una superposición de estados. En el caso discreto, los estados de base representan uno de los valores discretos posibles. Entonces vimos que para la función de estado que representa ese estado discreto n de una magnitud física, su valor medio es:

Es decir, que coincide con el valor de la magnitud física que ese estado representa.

Un físico espera que los valores de una magnitud física (energía, momento, posición) sean valores reales, no complejos. Recordemos que las funciones de estado devuelven valores complejos. Entonces, para un físico, el valor de arriba, fn, debe ser real. Eso pone una restricción adicional a los operadores para poder considerarlos como operadores que nos permiten obtener valores medios de magnitudes físicas.

Para entender el tipo de restricción que tenemos que imponer a los operadores, examinemos el concepto de operador traspuesto. Dadas dos funciones arbitrarias, tenemos la aplicación del operador a las mismas con la integral:

Si invertimos las funciones, podemos definir el operador traspuesto de f como aquel que cumple, para cualesquiera par de funciones:

Donde representamos el operador traspuesto con una tilde arriba. La existencia y unicidad de ese operador traspuesto de f para cada f es una cuestión matemática, pero la igualdad de arriba es la DEFINICION de ese operador traspuesto.

Todas estas integrales dan como resultado un número, que puede ser real o complejo. Tomemos el conjugado complejo de la integral original:

Podemos considerar el resultado de la integral como la "suma" de la expresión que está bajo el signo integral. Pasemos la conjugación complejo, indicada por un asterisco,  adentro de ese signo.

Definimos el operador complejo conjugado de f por aquel que cumple con la igualdad:

Lo indicamos con un asterisco.

Cuando el resultado de la integral debe ser igual a su conjugado, debe ser:

Pero ya sabemos que, por definición de operador traspuesto, se tiene:

Igualando los términos derechos de ambas igualdades queda:

Para toda función de estado. Es decir, que los operadores traspuestos y complejo conjugado DEBEN coincidir para que los autovalores del operador sean reales:

Los operadores lineales que cumplen con esta condición se llaman hermíticos.

Veremos en el próximo post que las autofunciones del operador que corresponden a distintos autovalores son, en algún sentido, ortogonales. Tenemos que estudiar qué es eso de ortogonalidad.

Todo lo anterior ha sido bastante matemático. Pero ya vamos viendo que los operadores que importan son los operadores hermíticos. Esos son operadores que permiten tener autovalores que son valores reales, no complejos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia