Publicado el 31 de Agosto, 2015, 7:31
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Veamos de extender el argumento del post anterior. Sabemos que la suma infinita de una serie, la llamamos alfa:
La suma de los términos de dos en dos, la llamamos beta:
La suma de los términos de tres en tres, la llamamos gamma:
Eso para cualquier serie. Tomando como serie a, b, c … los recíprocos de los naturales al cuadrado, como en el anterior post, vimos que beta se obtiene del coeficiente del desarrollo de sen(x)/x para x a la cuarta. De la misma forma, podemos obtener gamma, del coeficiente correspondiente a x a la sexta. Obtenemos:
Esto es nuevo, pero la forma de obtenerlo es la misma que la obtención de beta en el anterior post. Ahora bien, resulta que:
Es algo larga la demostración, pero fácil de comprobar, simplemente calculando la expresión de la derecha, al final todo se cancela, quedando solamente los cubos de las letras. El alfa al cubo contiene esos términos, los cubos, pero también tiene términos como abc, aab, y demás combinaciones. Esas combinaciones se van eliminado con:
Y al final sólo queda la suma de los cubos "puros". Recordando que:
y que:
Nos queda entonces que:
Notable. Euler obtuvo una expresión para todas las sumas de las potencias pares recíprocas. De hecho, en el "paper" mencionado en el anterior post, pudo expresar también las sumas alternadas de los recíprocos de potencias impares. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number en el párrafo https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#The_relation_to_the_Euler_numbers_and_.CF.80 Por ahora, bastante con el tema del problema de Basilea. Veremos en los próximos posts cómo estas sumas de potencias recíprocas infinitas dieron lugar a una función famosa. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 30 de Agosto, 2015, 7:40
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En el anterior post demostramos que no existe triángulo rectángulo con lados enteros que tenga un área que sea un número entero cuadrado perfecto. Veamos en este post cómo se puede aprovechar este resultado para demostrar la imposibilidad de uno de los casos especiales del teorema de Fermat. Es el caso n=4 (el exponente es 4). Afirmamos que:
No tiene soluciones enteras no triviales (claro, 0 para x, y, z es una solución trivial). Asumamos que x, y, z son primos dos a dos. Esto implica que al menos uno sea par (no pueden ser todos impares, la potencia cuarta de un impar da impar, la suma de dos impares no pueda dar impar). Digamos que el número par es x. Siempre podemos escribir:
Siendo x par, su potencia cuarta contiene, en su factorización, AL MENOS CUATRO números 2. Esos cuatro 2 deben repartirse entre los dos factores de la derecha. Esos dos factores no tienen factores comunes, entonces, aparte de los 2, sus otros factores deben formar una cuarta potencia. Sea entonces:
Con a, b primos entre sí. Sumamos las dos igualdades, quedando:
Simplificamos:
O sea
Tenemos un triángulo pitagórico. Pero su área es:
Esa área es un cuadrado perfecto. Contra lo demostrado antes. Entonces, llegamos a contradicción, si partimos del supuesto de que Fermat n=4 tiene solución no trivial. Demostramos su imposibilidad. Ya varias veces apareció el "viejo truco" de tener factores, y algún divisor conocido que tiene que repartirse entre los factores. También usamos el truco de saber que un factor tiene que ser una potencia perfecta. Y que dos factores son primos entre sí. Son varios trucos que vamos a seguir utilizando. Fue un largo camino, pero al menos, ya llegamos a descartar un exponente, el 4. Faltan unos cuantos más ;-) Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 29 de Agosto, 2015, 15:46
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A Fourier le interesaron los desarrollos en series donde cada término tenía a sen(nx) o a cos(mx). ¿Y por qué? Para comenzar a contestar esta pregunta, tenemos que estudiar la integral en un intervalo:
Siendo m y n enteros. Sin conocer mucho más podemos intuir algún resultado de esta integral. Los extremos que se toman son simétricos al punto 0, va desde menos pi a más pi. Encontes, cada valor x que tomamos en la integral, aparece como x positivo, y como x en negativo: cada valor absoluto aparece DOS VECES: una vez como positivo y otras vez como negativo. Si recordamos propiedades de las funciones trigonométricas seno y coseno, sabemos que:
Esto nos indica que por cada valor positivo de x, entre 0 y pi, tenemos:
No es una demostración matemática en cálculo, pero esto nos dice que cada valor de punto x positivo en la integral de arriba, se anula con el mismo valor de x pero en negativo. De otra forma:
Con lo que queda:
Que es lo mismo que:
Con la nomenclatura del post anterior, queda:
Es decir, cos mx y sen nx son ortogonales: anulan su producto, entendiendo como producto la integral de su multiplicación mutua desde -pi hasta +pi. No queda claro todavía cómo usó Fourier este resultado. En el próximo post veremos de ver que también se cumple:
Es decir, si m es distinto de n, son ortogonales (su multiplicación es nula) sino su multiplicación es igual a 1 (excepto un factor). Puede que exponga también una demostración alternativa de la ortoganilidad de sen nx y cos mx. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Agosto, 2015, 7:10
Publicado el 24 de Agosto, 2015, 7:45
Publicado el 23 de Agosto, 2015, 18:50
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Veamos el primer contacto de Dirac con el trabajo de Heisenberg:
Es muy importante esta etapa en la vida de Dirac. Pasó de ser un estudiante aventajado a ser un reconocido físico teórico, y comenzó su carrera al premio Nobel. El trabajo de Heisenberg (todavía no publicado) lo envío éste a Fowler, el supervisor de Dirac en aquel entonces. Fowler se lo pasa a Dirac y éste lo encontró inicialmente algo abtruso, pero luego comenzó a captar las ideas novedosas de Heisenberg. Escribí algunos detalles (incluso parte de este discurso) en: Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica Es interesante leer cómo Dirac se consideraba preparado para extender el trabajo de Heisenberg:
Y también es interesante que ya estuviera al tanto de las ideas de Hamilton, y notablemente, recordaba que ahí había un germen de no conmutatividad, como en la teoría de Heisenberg.
En el próximo post sigo compartiendo y comentando este interesante relato de Dirac. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Agosto, 2015, 20:05
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Ya comenzamos a explorar que un sistema físico puede tener una función de las coordenadas, velocidades y tiempo, llamada lagrangiana:
que describe el sistema. Las coordenadas pueden ser tres, sean x, y, z o x1, x2, x3, si estamos hablando de una partícula, o pueden ser seis coordenadas si el sistema tiene dos partículas y así. Lo bueno de la lagrangiana es que permite obtener n ecuaciones diferenciales, una por cada coordenada:
que, si es posible resolverlas, nos darán las ecuaciones de movimiento, es decir, cómo expresar todas las coordenadas como función del tiempo. Ese es el gran poder de la física clásica desde tiempos de Newton: dar una descripción de la evolución en el tiempo de un sistema físico, sea una partícula o sea el sistema solar. Newton fue el primer gran unificador de la física, uniendo bajo el mismo modelo la descripción de los movimientos celestes y de los movimientos terrestres. Antes, desde cerca de Aristóteles, se veían a ambos fenómenos como esencialmente diferentes. Pero ¿por qué usarn el formalismo lagrangiano, si tenemos a nuestra disposición el de Newton? Bueno, acá viene el meollo: si cambiamos las coordenadas, por ejemplo a las coordenadas q, donde cada qi viene expresada en función de las otras coordenadas:
Siendo estas expresiones son invertibles:
Entonces, de la lagrangiana original, expresada en función de las coordenadas originales x, podemos pasar a una nueva función lagrangiana, expresada en función de las coordenadas nuevas:
En general la expresión de esta nueva función (su forma, su desarrollo) no es la misma que la función original. Por eso no la llamé L, sino L prima. No se preocupen que vamos a ver ejemplos concretos de esto en próximo post. Pero lo notable de la formulación lagrangiana, es que se siguen cumpliendo las ecuaciones diferenciales:
Donde ahora tomamos las derivadas parciales según las coordenadas q y sus velocidades. ESO ES LO IMPORTANTE: podemos cambiar de coordenadas, buscar quizás un sistema de coordenadas más adecuado para el sistema que estamos tratando (por ejemplo, pasar a coordenadas polares en algún caso que implique rotaciones alrededor de un centro), y conseguir nuevas ecuaciones diferenciales para resolver el movimiento del sistema. Tal vez, esas ecuaciones son más manejables que las que hubiéramos obtenido si hubiéramos persistido en utilizar las coordenadas originales. Tengo que mostrar un ejemplo concreto, tarea que como escribí más arriba, queda para próximo post. Pero también queda pendiente DEMOSTRAR esta GRAN afirmación. Hay dos caminos para demostrarla, y espero poder mostrar ambos: - Hacer la sustitución algebraica de las viejas coordenadas a las nuevas en las ecuaciones diferenciales y deducir las nuevas - Mostrar que las ecuaciones diferenciales son consecuencia de un principio variacional No queda muy claro el segundo camino por ahora, pero se basa en el principio de Hamilton, que tendremos que examinar. Curiosamente, Lagrange no llegó a su formalismo por el segundo camino, sino por otro, más relacionado con el principio de D"Alembert. También tenemos pendiente exponer ese camino. Con respecto al principio variacional, déjenme adelantarles que las ecuaciones diferenciales que vimos son NECESARIAS para afirmar que una integral especial de la lagrangiana es un maximal (general un mínimo). Este es un concepto geométrico que se mantiene al cambiar las coordenadas, de ahí que la nueva lagrangiana también cumple con el mismo principio. Pero todo quedará más claro con ejemplo y demostración. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Agosto, 2015, 6:43
Publicado el 20 de Agosto, 2015, 7:29
Publicado el 19 de Agosto, 2015, 7:41
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Comienza el tema del desarrollo de la mecánica cuántica:
Dirac comienza por MECANICA cuántica, mas que por la teoría cuántica antigua, que llevaba un cuarto de siglo desarrollándose cuando en 1925 Heisenberg publica las ideas mencionadas arriba. Estoy escribiendo del tema en: Entendiendo a Heisenberg. Es un tema fascinante, por un lado toda la historia que lo precede, los distintos caminos tomados en la actividad científica, los modelos propuestos, los actores que intervienen, y por otro, sencillamente entender el "paper" de Heisenberg, que pega varios "saltos mágicos" en su razonamiento. El tema de la nueva "filosofía" es para discutir, pero es interesante. Heisenberg siempre insistió en eso, pero no es evidente que la física tenga que avanzar de esa manera. Conceptos como posición no fueron abandonados, sino refinados en la nueva teoría.
Este punto es el que destaca Dirac, y con razón: la no conmutabilidad de algunas expresiones relacionadas con las variables físicas. Para Heisenberg, las variables dejaron de ser simples números y comienzan a ser matrices. Su multiplicación es multiplicación de matricas, que no es conmutativa. Curiosamente, Heisenberg no conocía lo que era una matriz en matemática.
Pero Heisenberg siguió adelante. Ese fue su mérito. En el próximo post veremos cómo Dirac recibe y evalúa el trabajo de Heisenberg en tiempos tempranos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Agosto, 2015, 7:44
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Vimos en el anterior post que Thomson obtuvo un valor para la razón entre la carga del electrón y su masa, e/m. Y encontró que era más de mil veces mayor que los valores correspondientes a los iones en electrólisis. Esto lo llevó a pensar que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas con masa mucho menor que los iones, y con una carga negativa. Fueron las primeras partículas elementales conocidas. En otros experimentos Thomson y sus estudiantes encontraron el valor de las cargas +e transportadas por los iones. Entonces formó un modelo de los átomos, cuya existencia todavía estaba en debate. Es lo que se hace frecuentemente en ciencia: dar un modelo de algo aunque no se tenga evidencia directa. Es parte del gran juego de la investigación científica. Sirva esto para desmitificar la idea de la ciencia como "búsqueda de leyes" solamente. Es algo más: busca modelos explicativos de los fenómenos. Para Thomson, entonces, un átomo estaba compuesto de Z electrones, con carga -e, engarzados en posiciones de equilibrio dentro de una distribución continua de carga positiva, por un total de +eZ. Es de notar que no se le ocurrió que pudiera haber otras partículas de carga positiva. Era común entonces considerar continuos que ocupaban el espacio, desde el éter, hasta otros modelos de materia basados en fluidos. Desde Aristóteles, Descartes y hasta Maxwell, se pensaba en fluidos que ocupaban todo el espacio, y Thomson parece no haber escapado a la idea, aunque modificada por los átomos. Tampoco tenía evidencia directa de la existencia de otras partículas, ya bastante sorpresa había sido hallar electrones. Pero no quedó ahí el modelo propuesto. Thomson también pensó en explicar la emisión de luz, un tema que habría de indicar un camino inicial hacia la física cuántica. La emisión y absorción de luz por la materia, si se aceptaba la teoría atómica, debía ser adscrita de alguna forma a los propios átomos. Como se sabía desde Maxwell que la luz era una onda electromagnética, y que las cargas eléctricas en movimiento emitían esas ondas, Thomson supuso que cuando los electrones eran perturbados de su estacionamiento dentro del átomo, su movimiento era causa de emisión de radiación. Notable idea, que empapó la teoría atómica por años. Quería sacar todas las conclusiones posibles de su modelo, y encontrar explicaciones de fenómenos que le dieran más plausibilidad a su idea. Partiendo de una distribución uniforme de los electrones dentro de un átomo, y contando con las frecuencias detectadas en el espectro de esos átomos, calculó las frecuencias de oscilación de sus átomos y llegó a una bastante precisa conclusión: el tamaño de los átomos era de alrededor de 10-8 centímetros de radio. En el próximo post comenzaremos a estudiar el siguiente gran avance: los descubrimientos de Rutherford y sus estudiantes, sobre la estructura de los átomos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Agosto, 2015, 17:24
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Dirac decide comentar sobre cómo es el trabajo de un investigador, tratando su caso y el de otros:
Y toma como ejemplo a Lorentz. Dirac era un gran estudioso de la relatividad desde sus primeros años de estudio de la física.
Bueno, no veo que sea un paso pequeño el que faltaba. Realmente, hacía falta toda la agudeza de Einstein para llegar a la teoría de la relatividad restringida, aún teniendo las fórmulas de Lorentz. Y Lorentz tenía una explicación clásica alternativa a sus fórmulas, que lo satisfacía, y no le hizo falta otra. Vean que pasaron años desde las fórmulas de Lorentz hasta el avance de Einstein. No fue evidente para nadie ese "pequeño" paso que faltaba. En el próximo post, Dirac comenta sobre el desarrollo de la física cuántica. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Agosto, 2015, 20:06
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Las simetrías juegan un rol importantísimo en las matemáticas modernas, siendo lo que subyace en la teoría de grupos. He escrito: Pero también cumplen un papel fundamental en la física. No siempre queda claro esto en los textos de divulgación, donde, al no querer escribir una fórmula, por miedo a espantar lectores, el tema simetría tiene que ser abordado de una manera que no pone de manifiesto su real meollo. Inicio hoy esta serie de posts para explicar (y explicarme) este gran tópico. Ya comienza a aparecer en: Teoría de Grupos y Partículas Elementales y va a comenzar a aparecer en mis posts de mecánica clásica, y los de física cuántica. Pero pienso que el tema simetrías en física es tan importante que amerita una serie aparte. Por ejemplo, tenemos que investigar cómo se relaciona simetría e invariancia, qué es eso de invariancia por transformaciones de Galileo, y luego, de Lorentz, qué es rotación en un espacio, y cómo las invariancias ponen de manifiesto cantidades que se conservan. Veamos de ir definiendo, aunque sea de manera aproximada, que vamos a entender por simetría. Sea una estructura, que puede ser un sistema físico o de naturaleza geométrica, un conjunto de puntos en el espacio, o una ecuación. Requerimos que pueda ser descripta matemáticamente. Tendrá elementos, sean "electrón", "partícula", "ángulo", "punto" o "vector". Pero también, y no menos importante, tendrá relaciones entre esos elementos. Hasta podemos tener dos estructuras, con distintos elementos, pero las mismas relaciones entre ellos. Podríamos considerar a ambas como instancias de una estructura más abstracta. Hasta podríamos considerar las relaciones como elementos de una estructura de más alto nivel. De todas formas, tenemos elementos y relaciones. Imaginemos por un momento que los elementos los mapeamos a puntos en un espacio abstracto. Consideremos las transformaciones en ese espacio. Entre todas las transformaciones posibles, habrá algunas que dejan inalteradas las relaciones entre los puntos. Diremos que las relaciones son invariante ante ese grupo particular de transformaciones y lo llamamos grupo de simetría de nuestra estructura. Por ejemplo, para poner un ejemplo concreto. Sean los elementos los puntos de un plano. Sean las relaciones entre dos puntos, su distancia, la distancia que los separa. Las transformaciones como rotaciones alrededor de un punto, traslaciones, reflexiones por un punto o por una recta, todas esas transformaciones dejan invariantes las distancias. Quiere decir que si d(p,q) es la distancia entre dos puntos cualesquiera p, q, hay transformaciones T del plano que hacen que d(p,q) = d(T(p), T(q)), es decir que la distancia entre los puntos transformados ES LA MISMA que la distancia entre los puntos originales. Pero vayamos más allá. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas, donde el punto p tiene coordenadas x1, y1, mientras que el punto q tiene coordenadas x2, y2. Cuando transformamos el plano (o cuando cambiamos el sistema de coordenada) aplicando una de las transformaciones del grupo de simetría (que conserva las distancias), las nuevas coordenadas pueden ser x1', y1', y también x2', y2'. Pero acá aparece algo interesante para nuestro tema. El cuadrado de la distancia entre p y q originales se puede escribir como: (x1-x2)2+(y1-y2)2 Y notablemente, el cuadrado de la distancia para los nuevos puntos p', q', se calcula con: (x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2 Es decir, usando una fórmula QUE TIENE LA MISMA FORMA. No sólo no cambió la distancia, sino que la fórmula para calcularla sigue siendo la misma, cambian los valores que se entregan, las variables, de x a x', pero la forma de la fórmula es la misma. Este es el principio del camino a explorar: ver de encontrar leyes matemáticas (fórmulas y modelos) aplicados a sistemas físicos que conserven los valores resultado Y LA FORMA al aplicar un grupo de transformaciones que nos interese (como las transformaciones de Galileo o las de Lorentz). Veremos que muchas veces exigiremos que una fórmula sea invariante ante rotaciones o traslaciones, incluso en un espacio extendido como el que se usa en relatividad. Y ahí mencionaremos a qué se denomina simetría en este contexto. Fuentes consultadas: M. Chaichian, R. Hagedorn Symmetries in Quantum Mechanics From Angular Momentum to Supersymmetry Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Agosto, 2015, 15:30
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Publico hoy el comienzo del discurso de Dirac, donde recuerda afectuosamente a Oppenheimer. Primero, una foto del joven Oppenheimer:
Ahora, el discurso de Dirac:
Ah, no sabía que se habían conocido en Gotinga.
Son conocidas las largas caminatas de domingo de Dirac cuando estaba en Cambridge. También son conocidas por su soledad: le gustaba caminar solo. El que compartiera caminatas con Oppenheimer habla de la buena relación que tuvieron.
En el próximo post, comienza el comentario de Dirac sobre su propio trabajo. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Agosto, 2015, 7:14
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Encuentro en estos días el discurso de aceptación de Dirac al premio en memoria de Oppenheimer. Fue el primero en recibirlo, en 1969. Es interesante compartirlo, porque muchas veces me he encontrado con citas parciales del discurso, y ahora tengo la oportunidad de compartirlo completo. Agregaré algunos comentarios cuando pueda. Primero, antes del discurso, transcribo la introducción de Dirac al público presente, por parte de Behram Kursunoglu, profesor y director del Centro de Estudios Teóricos, de la Universidad de Miami. Una foto de Dirac en aquel entonces, con el profesor Kursunoglu:
Decía la presentación:
Sin embargo, Dirac no predijo el positrón en su primer "paper" del tema. Tardó unos años en proponer una partícula nueva: al principio, pensó que la contrapartida del electrón era el ya conocido protón, aunque no podía explicar la diferencia notable de masa.
Pasaron más de veinte años para conseguir evidencia experimental de antiprotones y antineutrones. Y en este siglo, hemos seguido buscando más partículas en aceleradores: todos podemos recordar la búsqueda del bosón de Higgs, por ejemplo.
Un caso notable fue el uso del lagrangiano en cuántica por Feynman, que comenzó a usarlo sin conocer el trabajo previo de Dirac. Al conocerlo, lo extendió de manera original.
La claridad de Dirac está algo en entredicho. Por un lado, si uno tiene la guía de comentaristas, se encuentra que los artículos de Dirac van al punto y explican el tema. Pero sin esa guía, para muchos físicos contemporáneaos de Dirac, sus artículos eran algo indescifrable y mágico.
Un ejemplo típico de personalidad de Dirac en Entrevista a Dirac. Ver también Dirac según Gamow.
En el próximo post, comenzaremos con el discurso del propio Dirac. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Agosto, 2015, 7:05
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El sábado pasado estaba leyendo el excelente libro "Matemáticas, una historia de amor y de odio", de Reuben Hersh y Vera John-Steiner. Me encuentro con una cita de Eugene Wigner. A los once años estaba internado en un sanatario de Austria, diagnosticado de tubercolosis. Se dedicó entonces a problemas de geometría:
Es interesante el problema. Creo que hoy yo no tardaría meses, pero tampoco lo resolvería en un sueño. Ese problema me llevó a plantearme la existencia de la intersección de las alturas de un triángulo en UN SOLO PUNTO. Traté de demostrarlo, pero luego de unas dos horas, no pude. Comencé a averiguar si era cierta la existencia de ese punto. Descubrí que se llama ortocentro, y encontré enlaces como: http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml donde menciona:
Yo hubiera pensado que la demostración ya estaba publicado en Euclides. No sé por qué no es mencionada. Puede ser que no fuera conocida, o tal vez, que los métodos de demostración no fueran los que Euclides quería mostrar en sus Elementos. También es de destacar que no se encontró prueba entre otros escritos griegos de la antiguedad. ¿Se habrá perdido? Parece improbable que no hubieran conocido la existencia de este teorema y su demostración. No ví las demostraciones del enlace de arriba, para seguir investigando por mi cuenta. Lo que sí encontré fue un esbozo de la demostración de Euler de una afirmación más grande, en: http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter (un sitio muy interesante, a explorar más en detalle), donde afirma que el circumcentro, el centroide, y el ortocentro de un triángulo cualquiera yacen sobre una misma línea. Notable propiedad! El domingo volví al problema del ortocentro, y conseguí una demostración. Parece que es la demostración más conocida, reduciendo el problema a la existencia de punto de concurrencia de las medianas (el llamado circumcentro) en otro triángulo. Luego traté de demostrar la existencia de este nuevo punto, el circumcentro, pero me enredé, hasta que me di cuenta que el problema era más fácil. Veremos las demostraciones de existencia del punto de intersección de las medianas (el circumcentro) y de las alturas (el ortocentro) de un triángulo cualquiera, en los próximos dos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 9 de Agosto, 2015, 16:51
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Hay algo más que van a tener nuestros vectores. Cada vector representa el estado físico de un sistema, y no tenemos todavía un ejemplo concreto, sólo estamos desplegando la base matemática. Dirac eligió vectores porque era la forma más interesante para representar superposición de estados. Pero necesitaba algo más: en física es también importante obtener valores, como el valor de la energía, el momento y otras magnitudes físicas. ¿Cómo podemos pasar de un vector a un valor? Bueno, apenas estamos a comenzar a ver el proceso para esto, pero lo primero es entender que estos espacios vectoriales de la teoría de la transformación tienen definido un producto entre ellos, un producto entre dos vectores, que da como resultado un número, un escalar. NO es el producto inicialmente tomado por Dirac, pronto vamos a ver la relación. Dirac tomó un producto entre DOS espacios vectoriales, en general distintos, pero asumió correspondencia uno a uno entre los vectores de uno y otro espacio. Pero paciencia, luego veremos su camino. Ahora, nos basta saber que los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los complejos que vamos a usar, tienen definido un producto interno:
Entre dos cualesquiera vectores, del que resulta un número del cuerpo de los complejos. Entonces se le piden las siguientes propiedades (el "exponente asterisco" significa conjugado complejo):
De b) y c) resulta:
Veamos algunos ejemplos, basados en los ejemplos de vectores del post anterior. Sea
El vector columna con elementos:
Sea
El vector columna con elementos:
Entonces, un producto interno que cumple con las propiedades anteriores es:
Si en cambio, esos vectores son funciones de x, un producto interno apropiado es:
Donde w(x) es una función real no negativa no completamente nula. El producto interno es una generalización de la longitud y el ángulo entre vectores geométricos. Si el producto interno entre dos vectores es cero, se les dice ortogonales. Este es el primer paso para obtener valores desde vectores de estado. En el próximo post comentaremos el "segundo espacio vectorial", el llamado espacio dual, más cercano al espacio vectorial que tomó Dirac inicialmente, y aparecerá su notación original. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Agosto, 2015, 18:40
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Hace dos post apareció el concepto matemático de operador: Matemáticas y Física Cuántica (5) Valor Medio y Operadores Es una función que recibe como argumento una función de onda, y devuelve una función de onda. Vimos que la motivación para su introducción es el cálculo del valor medio de una magnitud física. En física cuántica no podemos obtener SIEMPRE UN VALOR de una magnitud, conociendo la función de onda, sino sólo el valor medio. Pero hay un caso donde sí podemos obtener UN solo valor de esa magnitud: cuando la función de onda representa un estado de base de la magnitud entre manos. Matemáticamente, el valor medio da siempre un valor determinado en este caso:
Para que esto se cumpla, basta que:
En este caso, a la función de onda:
Se la llama función propia de la magnitud f, y a:
Se le llama valor propio. En el caso discreto, es uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud f (sea f la energía, el momento o cualquier otra magnitud física). En el anterior post: Matemáticas y Física Cuántica (6) Operadores Hermíticos Vimos que para que los valores propios fueran reales, el operador f-sombrero tenía que cumplir algunas condiciones. Cuando eso pasa, se dice que el operador es hermítico. La condición que tiene que cumplir es que su traspuesto sea igual a su conjugado complejo (temas que tratamos levemente en el anterior post):
Veamos una propiedad muy importante de las funciones propias, una propiedad que da sentido y coherencia a varios fórmulas derivadas que tenemos que ver. Sean dos funciones propias de f, operador hermítico, con dos valores propios REALES DISTINTOS:
Tomemos el conjugado complejo de la última igualdad:
Multipliquemos a la izquierda la primera igualdad por Psi-n conjugada, y a la última igualdad por Psi-m:
Restemos una igualdad de otra:
Tomemos integración por dq:
Y recordando que el operador f-sombrero es hermítico, entonces su conjugado complejo es igual a su operador traspuesto, dando:
Con lo que se anula la primera parte de la igualdad:
Y entonces, se anula la segunda parte:
Como fm es distinto de fn, entonces el integral se debe anular, para cualquier n diferente de m:
Se dice entonces que funciones propias de f con valores propios distintos SON ORTOGONALES (su "producto" se anula). Si también sabemos que una función propia está normalizada:
Entonces podemos obtener el coeficiente correspondiente a cualquier componente básico de una función de onda. Sea una función de onda una superposición de las funciones propias de f:
Calculando:
Esto es notable, y muestra la potencia de conocer las funciones de onda propias de un operador. Todo esto nos permite también calcular:
Las integrales se anulan para n distinto de m, y son igual a 1 para n igual a m, quedando:
Esto ya lo sabíamos: el desarrollo anterior muestra la coherencia de nuestro modelo matemático con la ortogonalidad de las funciones propias. El valor medio es el valor ponderado de los valores propios. El peso de ponderación es el cuadrado del módulo de cada coeficiente an, donde recordemos que esos coeficientes pueden ser complejos. En próximo post, veremos una propiedad importante de operadores que conmutan entre sí. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 3 de Agosto, 2015, 6:50
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Ya se nos va yendo el año. Y es hora de publicar mis resoluciones para el nuevo mes de agosto. Mientras, escribo el resultado de las del mes pasado. - Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales [completo] ver post Además, publiqué: Leyendo a Aristóteles (5) Las causas Mis resoluciones para el nuevo mes: - Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Agosto, 2015, 17:40
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En el anterior post hemos encontrado, siguiendo las ideas de Euler, que:
Para eso vimos cómo Euler iguala una suma infinita con una multiplicación infinita, e iguala los coeficientes. Algo como:
Es un "gran truco" que usa Euler en varias de sus demostraciones, un "truco" para tener en nuestro baúl matemático. Le bastó desarrollar el producto, e igualar los coeficientes de x al cuadrado en ambos desarrollos, el de la suma y el del producto. Pero Euler no se quedó ahí. También igualó los coeficientes de x a la cuarta, x a la sexta y demás. Y notablemente, obtuvo un resultado interesante, tan poco evidente como el primero. Veamos en este post primero un concepto general. Sea una suma infinita de términos, que sabemos que converge a un valor:
O sea, lo llamamos alfa. Sea el cuadrado de esta suma, desarrollado usando una generalización del binomio de Newton:
O sea, es la suma infinita de los cuadrados de los términos iniciales, más dos veces la suma de esos términos tomados de a dos distintos. Llamemos a la suma de a dos como beta:
Esto muestra que la suma de los cuadrados de los términos iniciales es:
No es una relación evidente, pero nos sirve para calcular la suma de los cuadrados de los términos de una serie original. Claro, tenemos que averiguar beta, la suma infinita de los términos tomados dos a dos. Y aquí Euler los encontró, encontró beta como de regalo. Tomemos:
Entonces, ya sabemos alfa:
¿Dónde está beta? Veamos el coeficiente para x a la cuarta cuando desarrollamos el producto infinito original (tienen que hacer el desarrollo, combinando de a dos los factores que tengan x al cuadrado):
Y ahí está beta: es el coeficiente que está entre paréntesis, esa suma infinita de los términos originales (los recíprocos de los cuadrados) TOMADOS DE A DOS. Ahora, en la suma infinita original, el coeficiente de x a la cuarta potencia es:
Con lo que queda:
Y obtenemos:
Como sabemos que alfa es la suma de los recíprocos, tomamos el valor que deducimos en el anterior post. Un pasito más que ya llegamos a:
Es decir, llegamos al valor de la suma de los recíprocos de las cuartas potencias: > Notable resultado. En el próximo post veremos el desarrollo para las siguientes potencias pares. Euler consiguió todos estos resultados en su "paper" E41: http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html Pueden ver algunos de esos "papers" de Euler en inglés en: (los originales eran en latín) http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html Y lo que estamos desarrollando está en inglés en: http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
