Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Agosto, 2015, 17:40

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En el anterior post hemos encontrado, siguiendo las ideas de Euler, que:

Para eso vimos cómo Euler iguala una suma infinita con una multiplicación infinita, e iguala los coeficientes. Algo como:

Es un "gran truco" que usa Euler en varias de sus demostraciones, un "truco" para tener en nuestro baúl matemático. Le bastó desarrollar el producto, e igualar los coeficientes de x al cuadrado en ambos desarrollos, el de la suma y el del producto.

Pero Euler no se quedó ahí. También igualó los coeficientes de x a la cuarta, x a la sexta y demás. Y notablemente, obtuvo un resultado interesante, tan poco evidente como el primero.

Veamos en este post primero un concepto general. Sea una suma infinita de términos, que sabemos que converge a un valor:

O sea, lo llamamos alfa. Sea el cuadrado de esta suma, desarrollado usando una generalización del binomio de Newton:


O sea, es la suma infinita de los cuadrados de los términos iniciales, más dos veces la suma de esos términos tomados de a dos distintos. Llamemos a la suma de a dos como beta:

Esto muestra que la suma de los cuadrados de los términos iniciales es:

No es una relación evidente, pero nos sirve para calcular la suma de los cuadrados de los términos de una serie original. Claro, tenemos que averiguar beta, la suma infinita de los términos tomados dos a dos. Y aquí Euler los encontró, encontró beta como de regalo. Tomemos:




Entonces, ya sabemos alfa:

¿Dónde está beta? Veamos el coeficiente para x a la cuarta cuando desarrollamos el producto infinito original (tienen que hacer el desarrollo, combinando de a dos los factores que tengan x al cuadrado):

Y ahí está beta: es el coeficiente que está entre paréntesis, esa suma infinita de los términos originales (los recíprocos de los cuadrados) TOMADOS DE A DOS.

Ahora, en la suma infinita original, el coeficiente de x a la cuarta potencia es:

Con lo que queda:

Y obtenemos:

Como sabemos que alfa es la suma de los recíprocos, tomamos el valor que deducimos en el anterior post. Un pasito más que ya llegamos a:


Es decir, llegamos al valor de la suma de los recíprocos de las cuartas potencias:

>

Notable resultado. En el próximo post veremos el desarrollo para las siguientes potencias pares. Euler consiguió todos estos resultados en su "paper" E41:

http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

Pueden ver algunos de esos "papers" de Euler en inglés en: (los originales eran en latín)

http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

Y lo que estamos desarrollando está en inglés en:

http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez