Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 8 de Agosto, 2015, 18:40

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Hace dos post apareció el concepto matemático de operador:

Matemáticas y Física Cuántica (5) Valor Medio y Operadores

Es una función que recibe como argumento una función de onda, y devuelve una función de onda. Vimos que la motivación para su introducción es el cálculo del valor medio de una magnitud física. En física cuántica no podemos obtener SIEMPRE UN VALOR de una magnitud, conociendo la función de onda, sino sólo el valor medio. Pero hay un caso donde sí podemos obtener UN solo valor de esa magnitud: cuando la función de onda representa un estado de base de la magnitud entre manos.

Matemáticamente, el valor medio da siempre un valor determinado en este caso:

Para que esto se cumpla, basta que:

En este caso, a la función de onda:

Se la llama función propia de la magnitud f, y a:

Se le llama valor propio. En el caso discreto, es uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud f (sea f la energía, el momento o cualquier otra magnitud física). En el anterior post:

Matemáticas y Física Cuántica (6) Operadores Hermíticos

Vimos que para que los valores propios fueran reales, el operador f-sombrero tenía que cumplir algunas condiciones. Cuando eso pasa, se dice que el operador es hermítico. La condición que tiene que cumplir es que su traspuesto sea igual a su conjugado complejo (temas que tratamos levemente en el anterior post):

Veamos una propiedad muy importante de las funciones propias, una propiedad que da sentido y coherencia a varios fórmulas derivadas que tenemos que ver. Sean dos funciones propias de f, operador hermítico, con dos valores propios REALES DISTINTOS:


Tomemos el conjugado complejo de la última igualdad:

Multipliquemos a la izquierda la primera igualdad por Psi-n conjugada, y a la última igualdad por Psi-m:


Restemos una igualdad de otra:

Tomemos integración por dq:

Y recordando que el operador f-sombrero es hermítico, entonces su conjugado complejo es igual a su operador traspuesto, dando:

Con lo que se anula la primera parte de la igualdad:

Y entonces, se anula la segunda parte:

Como fm es distinto de fn, entonces el integral se debe anular, para cualquier n diferente de m:

Se dice entonces que funciones propias de f con valores propios distintos SON ORTOGONALES (su "producto" se anula). Si también sabemos que una función propia está normalizada:

Entonces podemos obtener el coeficiente correspondiente a cualquier componente básico de una función de onda. Sea una función de onda una superposición de las funciones propias de f:

Calculando:


Esto es notable, y muestra la potencia de conocer las funciones de onda propias de un operador. Todo esto nos permite también calcular:



Las integrales se anulan para n distinto de m, y son igual a 1 para n igual a m, quedando:

Esto ya lo sabíamos: el desarrollo anterior muestra la coherencia de nuestro modelo matemático con la ortogonalidad de las funciones propias. El valor medio es el valor ponderado de los valores propios. El peso de ponderación es el cuadrado del módulo de cada coeficiente an, donde recordemos que esos coeficientes pueden ser complejos.

En próximo post, veremos una propiedad importante de operadores que conmutan entre sí.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia