Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 9 de Agosto, 2015, 16:51

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Hay algo más que van a tener nuestros vectores. Cada vector representa el estado físico de un sistema, y no tenemos todavía un ejemplo concreto, sólo estamos desplegando la base matemática. Dirac eligió vectores porque era la forma más interesante para representar superposición de estados. Pero necesitaba algo más: en física es también importante obtener valores, como el valor de la energía, el momento y otras magnitudes físicas. ¿Cómo podemos pasar de un vector a un valor? Bueno, apenas estamos a comenzar a ver el proceso para esto, pero lo primero es entender que estos espacios vectoriales de la teoría de la transformación tienen definido un producto entre ellos, un producto entre dos vectores, que da como resultado un número, un escalar. NO es el producto inicialmente tomado por Dirac, pronto vamos a ver la relación. Dirac tomó un producto entre DOS espacios vectoriales, en general distintos, pero asumió correspondencia uno a uno entre los vectores de uno y otro espacio. Pero paciencia, luego veremos su camino.

Ahora, nos basta saber que los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los complejos que vamos a usar, tienen definido un producto interno:

Entre dos cualesquiera vectores, del que resulta un número del cuerpo de los complejos. Entonces se le piden las siguientes propiedades (el "exponente asterisco" significa conjugado complejo):




De b) y c) resulta:

Veamos algunos ejemplos, basados en los ejemplos de vectores del post anterior.

Sea

El vector columna con elementos:

Sea

El vector columna con elementos:

Entonces, un producto interno que cumple con las propiedades anteriores es:

Si en cambio, esos vectores son funciones de x, un producto interno apropiado es:

Donde w(x) es una función real no negativa no completamente nula.

El producto interno es una generalización de la longitud y el ángulo entre vectores geométricos. Si el producto interno entre dos vectores es cero, se les dice ortogonales.

Este es el primer paso para obtener valores desde vectores de estado. En el próximo post comentaremos el "segundo espacio vectorial", el llamado espacio dual, más cercano al espacio vectorial que tomó Dirac inicialmente, y aparecerá su notación original.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia