Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 12 de Agosto, 2015, 7:05

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El sábado pasado estaba leyendo el excelente libro "Matemáticas, una historia de amor y de odio", de Reuben Hersh y Vera John-Steiner. Me encuentro con una cita de Eugene Wigner. A los once años estaba internado en un sanatario de Austria, diagnosticado de tubercolosis. Se dedicó entonces a problemas de geometría:

Sentado en mi tumbona, intenté construir un triángulo, dadas solamente las longitudes de tres alturas. Se trata de un problema muy sencillo que ahora puedo resolver en sueños, pero en aquel momento, encontrar la solución me costó varios meses de trabajo muy concentrado.

Es interesante el problema. Creo que hoy yo no tardaría meses, pero tampoco lo resolvería en un sueño. Ese problema me llevó a plantearme la existencia de la intersección de las alturas de un triángulo en UN SOLO PUNTO. Traté de demostrarlo, pero luego de unas dos horas, no pude.

Comencé a averiguar si era cierta la existencia de ese punto. Descubrí que se llama ortocentro, y encontré enlaces como:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

donde menciona:

This is a matter of real wonderment that the fact of the concurrency of altitudes is not mentioned in either Euclid's Elements or subsequent writings of the Greek scholars. The timing of the first proof is still an open question; it is believed, though, that even the great Gauss saw it necessary to prove the fact.

Yo hubiera pensado que la demostración ya estaba publicado en Euclides. No sé por qué no es mencionada. Puede ser que no fuera conocida, o tal vez, que los métodos de demostración no fueran los que Euclides quería mostrar en sus Elementos. También es de destacar que no se encontró prueba entre otros escritos griegos de la antiguedad. ¿Se habrá perdido? Parece improbable que no hubieran conocido la existencia de este teorema y su demostración.

No ví las demostraciones del enlace de arriba, para seguir investigando por mi cuenta. Lo que sí encontré fue un esbozo de la demostración de Euler de una afirmación más grande, en:

http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter

(un sitio muy interesante, a explorar más en detalle), donde afirma que el circumcentro, el centroide, y el ortocentro de un triángulo cualquiera yacen sobre una misma línea. Notable propiedad!

El domingo volví al problema del ortocentro, y conseguí una demostración. Parece que es la demostración más conocida, reduciendo el problema a la existencia de punto de concurrencia de las medianas (el llamado circumcentro) en otro triángulo. Luego traté de demostrar la existencia de este nuevo punto, el circumcentro, pero me enredé, hasta que me di cuenta que el problema era más fácil. Veremos las demostraciones de existencia del punto de intersección de las medianas (el circumcentro) y de las alturas (el ortocentro) de un triángulo cualquiera, en los próximos dos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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