Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 16 de Agosto, 2015, 20:06

Las simetrías juegan un rol importantísimo en las matemáticas modernas, siendo lo que subyace en la teoría de grupos. He escrito:

Simetría, primeros pasos

Pero también cumplen un papel fundamental en la física. No siempre queda claro esto en los textos de divulgación, donde, al no querer escribir una fórmula, por miedo a espantar lectores, el tema simetría tiene que ser abordado de una manera que no pone de manifiesto su real meollo. Inicio hoy esta serie de posts para explicar (y explicarme) este gran tópico. Ya comienza a aparecer en:

Teoría de Grupos y Partículas Elementales

y va a comenzar a aparecer en mis posts de mecánica clásica, y los de física cuántica. Pero pienso que el tema simetrías en física es tan importante que amerita una serie aparte. Por ejemplo, tenemos que investigar cómo se relaciona simetría e invariancia, qué es eso de invariancia por transformaciones de Galileo, y luego, de Lorentz, qué es rotación en un espacio, y cómo las invariancias ponen de manifiesto cantidades que se conservan.

Veamos de ir definiendo, aunque sea de manera aproximada, que vamos a entender por simetría. Sea una estructura, que puede ser un sistema físico o de naturaleza geométrica, un conjunto de puntos en el espacio, o una ecuación. Requerimos que pueda ser descripta matemáticamente. Tendrá elementos, sean "electrón", "partícula", "ángulo", "punto" o "vector". Pero también, y no menos importante, tendrá relaciones entre esos elementos. Hasta podemos tener dos estructuras, con distintos elementos, pero las mismas relaciones entre ellos. Podríamos considerar a ambas como instancias de una estructura más abstracta. Hasta podríamos considerar las relaciones como elementos de una estructura de más alto nivel. De todas formas, tenemos elementos y relaciones. Imaginemos por un momento que los elementos los mapeamos a puntos en un espacio abstracto. Consideremos las transformaciones en ese espacio. Entre todas las transformaciones posibles, habrá algunas que dejan inalteradas las relaciones entre los puntos. Diremos que las relaciones son invariante ante ese grupo particular de transformaciones y lo llamamos grupo de simetría de nuestra estructura.

Por ejemplo, para poner un ejemplo concreto. Sean los elementos los puntos de un plano. Sean las relaciones entre dos puntos, su distancia, la distancia que los separa. Las transformaciones como rotaciones alrededor de un punto, traslaciones, reflexiones por un punto o por una recta, todas esas transformaciones dejan invariantes las distancias. Quiere decir que si d(p,q) es la distancia entre dos puntos cualesquiera p, q, hay transformaciones T del plano que hacen que d(p,q) = d(T(p), T(q)), es decir que la distancia entre los puntos transformados ES LA MISMA que la distancia entre los puntos originales. Pero vayamos más allá. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas, donde el punto p tiene coordenadas x1, y1, mientras que el punto q tiene coordenadas x2, y2. Cuando transformamos el plano (o cuando cambiamos el sistema de coordenada) aplicando una de las transformaciones del grupo de simetría (que conserva las distancias), las nuevas coordenadas pueden ser x1', y1', y también x2', y2'.

Pero acá aparece algo interesante para nuestro tema. El cuadrado de la distancia entre p y q originales se puede escribir como:

(x1-x2)2+(y1-y2)2

Y notablemente, el cuadrado de la distancia para los nuevos puntos p', q', se calcula con:

(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2

Es decir, usando una fórmula QUE TIENE LA MISMA FORMA. No sólo no cambió la distancia, sino que la fórmula para calcularla sigue siendo la misma, cambian los valores que se entregan, las variables, de x a x', pero la forma de la fórmula es la misma.

Este es el principio del camino a explorar: ver de encontrar leyes matemáticas (fórmulas y modelos) aplicados a sistemas físicos que conserven los valores resultado Y LA FORMA al aplicar un grupo de transformaciones que nos interese (como las transformaciones de Galileo o las de Lorentz). Veremos que muchas veces exigiremos que una fórmula sea invariante ante rotaciones o traslaciones, incluso en un espacio extendido como el que se usa en relatividad. Y ahí mencionaremos a qué se denomina simetría en este contexto.

Fuentes consultadas:

M. Chaichian, R. Hagedorn Symmetries in Quantum Mechanics From Angular Momentum to Supersymmetry
J J Sakurai Invariance Principles and Elementary Particle
Quantum Mechanics Symmetries, Greiner Walter
Symmetries of Equations of Quantum Mechanics

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia