Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Agosto, 2015, 20:05

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Ya comenzamos a explorar que un sistema físico puede tener una función de las coordenadas, velocidades y tiempo, llamada lagrangiana:

que describe el sistema. Las coordenadas pueden ser tres, sean x, y, z o x1, x2, x3, si estamos hablando de una partícula, o pueden ser seis coordenadas si el sistema tiene dos partículas y así.

Lo bueno de la lagrangiana es que permite obtener n ecuaciones diferenciales, una por cada coordenada:

que, si es posible resolverlas, nos darán las ecuaciones de movimiento, es decir, cómo expresar todas las coordenadas como función del tiempo. Ese es el gran poder de la física clásica desde tiempos de Newton: dar una descripción de la evolución en el tiempo de un sistema físico, sea una partícula o sea el sistema solar. Newton fue el primer gran unificador de la física, uniendo bajo el mismo modelo la descripción de los movimientos celestes y de los movimientos terrestres. Antes, desde cerca de Aristóteles, se veían a ambos fenómenos como esencialmente diferentes.

Pero ¿por qué usarn el formalismo lagrangiano, si tenemos a nuestra disposición el de Newton? Bueno, acá viene el meollo: si cambiamos las coordenadas, por ejemplo a las coordenadas q, donde cada qi viene expresada en función de las otras coordenadas:

Siendo estas expresiones son invertibles:

Entonces, de la lagrangiana original, expresada en función de las coordenadas originales x, podemos pasar a una nueva función lagrangiana, expresada en función de las coordenadas nuevas:

En general la expresión de esta nueva función (su forma, su desarrollo) no es la misma que la función original. Por eso no la llamé L, sino L prima. No se preocupen que vamos a ver ejemplos concretos de esto en próximo post. Pero lo notable de la formulación lagrangiana, es que se siguen cumpliendo las ecuaciones diferenciales:

Donde ahora tomamos las derivadas parciales según las coordenadas q y sus velocidades. ESO ES LO IMPORTANTE: podemos cambiar de coordenadas, buscar quizás un sistema de coordenadas más adecuado para el sistema que estamos tratando (por ejemplo, pasar a coordenadas polares en algún caso que implique rotaciones alrededor de un centro), y conseguir nuevas ecuaciones diferenciales para resolver el movimiento del sistema. Tal vez, esas ecuaciones son más manejables que las que hubiéramos obtenido si hubiéramos persistido en utilizar las coordenadas originales.

Tengo que mostrar un ejemplo concreto, tarea que como escribí más arriba, queda para próximo post. Pero también queda pendiente DEMOSTRAR esta GRAN afirmación. Hay dos caminos para demostrarla, y espero poder mostrar ambos:

- Hacer la sustitución algebraica de las viejas coordenadas a las nuevas en las ecuaciones diferenciales y deducir las nuevas

- Mostrar que las ecuaciones diferenciales son consecuencia de un principio variacional

No queda muy claro el segundo camino por ahora, pero se basa en el principio de Hamilton, que tendremos que examinar. Curiosamente, Lagrange no llegó a su formalismo por el segundo camino, sino por otro, más relacionado con el principio de D"Alembert. También tenemos pendiente exponer ese camino. Con respecto al principio variacional, déjenme adelantarles que las ecuaciones diferenciales que vimos son NECESARIAS para afirmar que una integral especial de la lagrangiana es un maximal (general un mínimo). Este es un concepto geométrico que se mantiene al cambiar las coordenadas, de ahí que la nueva lagrangiana también cumple con el mismo principio.

Pero todo quedará más claro con ejemplo y demostración.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia