Publicado el 29 de Agosto, 2015, 15:46
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A Fourier le interesaron los desarrollos en series donde cada término tenía a sen(nx) o a cos(mx). ¿Y por qué? Para comenzar a contestar esta pregunta, tenemos que estudiar la integral en un intervalo:
Siendo m y n enteros. Sin conocer mucho más podemos intuir algún resultado de esta integral. Los extremos que se toman son simétricos al punto 0, va desde menos pi a más pi. Encontes, cada valor x que tomamos en la integral, aparece como x positivo, y como x en negativo: cada valor absoluto aparece DOS VECES: una vez como positivo y otras vez como negativo. Si recordamos propiedades de las funciones trigonométricas seno y coseno, sabemos que:
Esto nos indica que por cada valor positivo de x, entre 0 y pi, tenemos:
No es una demostración matemática en cálculo, pero esto nos dice que cada valor de punto x positivo en la integral de arriba, se anula con el mismo valor de x pero en negativo. De otra forma:
Con lo que queda:
Que es lo mismo que:
Con la nomenclatura del post anterior, queda:
Es decir, cos mx y sen nx son ortogonales: anulan su producto, entendiendo como producto la integral de su multiplicación mutua desde -pi hasta +pi. No queda claro todavía cómo usó Fourier este resultado. En el próximo post veremos de ver que también se cumple:
Es decir, si m es distinto de n, son ortogonales (su multiplicación es nula) sino su multiplicación es igual a 1 (excepto un factor). Puede que exponga también una demostración alternativa de la ortoganilidad de sen nx y cos mx. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
