Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 29 de Agosto, 2015, 15:46

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A Fourier le interesaron los desarrollos en series donde cada término tenía a sen(nx) o a cos(mx). ¿Y por qué? Para comenzar a contestar esta pregunta, tenemos que estudiar la integral en un intervalo:

Siendo m y n enteros. Sin conocer mucho más podemos intuir algún resultado de esta integral. Los extremos que se toman son simétricos al punto 0, va desde menos pi a más pi. Encontes, cada valor x que tomamos en la integral, aparece como x positivo, y como x en negativo: cada valor absoluto aparece DOS VECES: una vez como positivo y otras vez como negativo.

Si recordamos propiedades de las funciones trigonométricas seno y coseno, sabemos que:


Esto nos indica que por cada valor positivo de x, entre 0 y pi, tenemos:

No es una demostración matemática en cálculo, pero esto nos dice que cada valor de punto x positivo en la integral de arriba, se anula con el mismo valor de x pero en negativo. De otra forma:


Con lo que queda:

Que es lo mismo que:

Con la nomenclatura del post anterior, queda:

Es decir, cos mx y sen nx son ortogonales: anulan su producto, entendiendo como producto la integral de su multiplicación mutua desde -pi hasta +pi.

No queda claro todavía cómo usó Fourier este resultado. En el próximo post veremos de ver que también se cumple:


Es decir, si m es distinto de n, son ortogonales (su multiplicación es nula) sino su multiplicación es igual a 1 (excepto un factor).

Puede que exponga también una demostración alternativa de la ortoganilidad de sen nx y cos mx.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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