Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 30 de Agosto, 2015, 7:40

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En el anterior post demostramos que no existe triángulo rectángulo con lados enteros que tenga un área que sea un número entero cuadrado perfecto.

Veamos en este post cómo se puede aprovechar este resultado para demostrar la imposibilidad de uno de los casos especiales del teorema de Fermat. Es el caso n=4 (el exponente es 4). Afirmamos que:

No tiene soluciones enteras no triviales (claro, 0 para x, y, z es una solución trivial).

Asumamos que x, y, z son primos dos a dos. Esto implica que al menos uno sea par (no pueden ser todos impares, la potencia cuarta de un impar da impar, la suma de dos impares no pueda dar impar). Digamos que el número par es x. Siempre podemos escribir:

Siendo x par, su potencia cuarta contiene, en su factorización, AL MENOS CUATRO números 2. Esos cuatro 2 deben repartirse entre los dos factores de la derecha. Esos dos factores no tienen factores comunes, entonces, aparte de los 2, sus otros factores deben formar una cuarta potencia. Sea entonces:


Con a, b primos entre sí. Sumamos las dos igualdades, quedando:

Simplificamos:

O sea

Tenemos un triángulo pitagórico. Pero su área es:

Esa área es un cuadrado perfecto. Contra lo demostrado antes. Entonces, llegamos a contradicción, si partimos del supuesto de que Fermat n=4 tiene solución no trivial. Demostramos su imposibilidad.

Ya varias veces apareció el "viejo truco" de tener factores, y algún divisor conocido que tiene que repartirse entre los factores. También usamos el truco de saber que un factor tiene que ser una potencia perfecta. Y que dos factores son primos entre sí. Son varios trucos que vamos a seguir utilizando.

Fue un largo camino, pero al menos, ya llegamos a descartar un exponente, el 4. Faltan unos cuantos más ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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