Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Agosto, 2015, 7:31

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Veamos de extender el argumento del post anterior. Sabemos que la suma infinita de una serie, la llamamos alfa:

La suma de los términos de dos en dos, la llamamos beta:

La suma de los términos de tres en tres, la llamamos gamma:

Eso para cualquier serie. Tomando como serie a, b, c … los recíprocos de los naturales al cuadrado, como en el anterior post, vimos que beta se obtiene del coeficiente del desarrollo de sen(x)/x  para x a la cuarta. De la misma forma, podemos obtener gamma, del coeficiente correspondiente a x a la sexta. Obtenemos:

Esto es nuevo, pero la forma de obtenerlo es la misma que la obtención de beta en el anterior post. Ahora bien, resulta que:

Es algo larga la demostración, pero fácil de comprobar, simplemente calculando la expresión de la derecha, al final todo se cancela, quedando solamente los cubos de las letras. El alfa al cubo contiene esos términos, los cubos, pero también tiene términos como abc, aab, y demás combinaciones. Esas combinaciones se van eliminado con:

Y al final sólo queda la suma de los cubos "puros".

Recordando que:

y que:

Nos queda entonces que:


Notable. Euler obtuvo una expresión para todas las sumas de las potencias pares recíprocas. De hecho, en el "paper" mencionado en el anterior post, pudo expresar también las sumas alternadas de los recíprocos de potencias impares. Ver

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

en el párrafo

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#The_relation_to_the_Euler_numbers_and_.CF.80

Por ahora, bastante con el tema del problema de Basilea. Veremos en los próximos posts cómo estas sumas de potencias recíprocas infinitas dieron lugar a una función famosa.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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