Publicado el 29 de Septiembre, 2015, 6:26
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The Dirac Equation The Dirac equation HotsonPart1.pdf (application/pdf Object) The work of Argentinean physicist and philosopher Mario Bunge as an exemplary life for the fruitful integration of philosophy and the sciences Science and exile: David Bohm, the hot times of the Cold War, and his struggle for a new interpretation of quantum mechanics Paul Dirac: One of the greatest British minds of the 20th century - Telegraph symmetry breaking » Blog Archive » Nicola Cabibbo: 1935–2010 Quantum Physics: Paul Dirac: Explaining Positrons (antimatter) of Quantum Physics. Paul Dirac Biography Nicola Cabibbo: 1935–2010 - physicsworld.com Nicola Cabibbo - Wikiquote Gerard ′t Hooft Otto Stern y el rigor científico A Visual History of Science, from the Pages of Scientific American [Slide Show]: Scientific American Slideshows Immanuel Kant: Universal Natural History and Theory of the Heavens Inventor de la corriente alterna - Diario EL PAIS - Montevideo - Uruguay The Einstein-Podolsky-Rosen Argument in Quantum Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy) Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 28 de Septiembre, 2015, 7:02
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Es interesante ver que primero aparecieron ecuaciones y luego la interpretación física de algunos conceptos que surgieron de esas ecuaciones:
Pero había algo más para avanzar: hacer lo que quería hacer Schrodinger desde el principio, que la teoría fuera compatible con la teoría de la relatividad. Dirac se había entrenado durante años en estudiar la teoría de Einstein, y ya estaba habituado a formular ecuaciones que fueran invariantes ante transformaciones de Lorentz. Podría decirse que el destino le había llegado: al fin iba a hacer un avance importante en física sin que otros lo precedieran.
De nuevo el espíritu Dirac: vean cómo marca casi como más importante la inconsistencia lógica de la ecuación de Klein-Gordon. ¿Cuál era el punto que no le gustaba? Si se seguía la interpretación probabilística, mientras que la ecuación de Schrodinger daba probabilidades positivas, la de Klein-Gordon no, podía dar probabilidades negativas. La ecuación volvió a tener aceptación años más tarde, cuando se vió que más que probabilidad daba probabilidad de carga, en partículas con carga positiva o negativa. He aquí la explicación de Dirac:
Igual algo se equivocaba Dirac. Las probabilidades no eran tales, sino que tenía el signo de la carga. Pero eso ya es otra historia, en la que aporto algo de luz Pauli y otros. Para Dirac, la ecuación de Klein-Gordon no solucionaba el caso relativístico en mecánica cuántica. Y se puso a trabajar en el tema. Dirac recuerda, en otros escritos, la sorpresa que se llevó cuando le comentó a Bohr, en uno de los congresos Solvay de esos días (fines de la década del veinte), que estaba trabajando en el caso relativísico. Bohr le contesta que Klein y Gordon YA LO habían resuelto. La sorpresa fue que descubrió que un grande, como Bohr, no se había dado cuenta de la inconsistencia de la ecuación. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Septiembre, 2015, 18:53
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En el espacio vectorial que presentamos en el anterior post, los vectores están dotados de un producto. Las características de esta operación producto suenan familiares, excepto por:
Donde se ve que el producto no es conmutativo: al conmutar los argumentos, se obtiene el conjugado complejo. Bien podríamos haber tomado un producto conmutativo, pero para los matemáticos no es un espacio vectorial con producto tan interesante como el que vimos. Porque al ser definido de esta forma, el producto de un vector por sí mismo, da un número que cumple:
Que solamente se cumple si el producto de cada vector por sí mismo ES UN NUMERO REAL. Al tener esta propiedad, podemos jugar con más propiedades. Por ejemplo, exigimos también que:
Lo que es plausible porque el auto producto de un vector es un número real. Al exigir que sea positivo, podemos hablar de su raíz cuadrada positiva real, y definir la norma de un vector:
como igual a:
La norma y el producto interno satisfacen dos importantes teoremas. Uno, la desigualdad de Schwartz, sólo relativo al producto interno:
Y la desigualdad triangular, donde interviene la norma:
Para nuestro tema no hace falta demostrarlos, pero es importante ver que son propiedades del espacio vectorial con producto interno como lo definimos, no es un tema físico. Al igual que en la geometría real, podemos definir que dos vectores son ortogonales si su producto interno da cero. Entonces, un conjunto de vectores:
Se dice ortonormal, si sus vectores son ortogonales dos a dos, y su norma es la unidad. Esto es lo mismo que decir:
Donde a la derecha aparece la delta de Kronecker, que es igual a cero si i <> j, y es igual a uno si i=j. https://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear_form Y es fácil ver que si a y b son escalares complejos, entonces:
Es como que el producto así definido está como algo "retorcido", no es lo mismo multiplicar el primer vector por un escalar que multiplicar el segundo vector por el mismo escalar. Esa es una cualidad distintiva de las formas sesquilineares. En el próximo post veremos de introducir el espacio dual. Todavía son todos prolegómenos matemáticos. Luego tendremos que ver la relación de ambos espacios vectoriales con la teoría de Dirac propiamente dicha. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Septiembre, 2015, 18:53
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Tenemos representado un estado físico por una función de onda:
Y las magnitudes físicas corresponden a operadores como:
y
Que pueden operar sobre la función de onda para obtener valores medios:
y
Estamos examinando el caso donde los valores de una magnitud física se presentan discretos, es decir, no continuos (luego estudiaremos el caso continuo; incluso se da que una magnitud física, como la energía, se presente en un rango discreto y en otro rango continuo). Supongamos que ambos operadores f y g representan valores discretos. Para el primero, existen entonces n funciones de onda especiales, tales que:
Donde fn es un valor numérico, en general real. Que pueden representar CUALQUIER estado físico como:
¿Qué pasa con operar g sobre esas n autofunciones de f? g operador sobre Psi-n puede dar una función de onda cualquiera, esa es la función del operador. Pero resulta algo interesante, desde el punto de vista matemático y aún más físico, cuando los operadores conmutan. No siempre es el caso, pero que dos operadores conmuten es:
Es decir, que el orden de operación sobre una función de onda cualquiera no afecta el resultado:
Cuando es éste el caso, resulta algo interesante. Apliquemos gf sobre la autofunción n de f:
Si los operadores conmutan esto es igual a:
Tomando ambos resultados como iguales:
Queda entonces que:
ES AUTOFUNCION DE F, con autovalor asociado fn. Si para cada autovalor fn hay SOLO UNA autofunción asociada normalizada (esto es un gran SI), entonces este resultado es múltiplo de esa autofunción:
Y ese factor numérico lambda es entonces AUTOVALOR de g:
Y la autofunción de f es AUTOFUNCION de g TAMBIEN. El mismo razonamiento se puede aplicar si partimos desde una autofunción de g. El único punto delicado es tener SOLO UNA autofunción por cada AUTOVALOR DISTINTO (si no fuera el caso, habría que aplicar este resultado a subespacios generados por las autofunciones del mismo autovalor; en el caso de arriba, el subespacio es el rayo (el multiplicar por un valor escalar) de la autofunción de la que partimos). Partamos ahora al revés. Suponemos que f y g comparten autofunciones:
y
Para cada autofunción (ver que compartir NO SIGNIFICA tener los MISMOS AUTOVALORES, solo tener las MISMAS AUTOFUNCIONES). Veamos que ambos operadores conmutan. Sabemos que las autofunciones forman un sistema completo que permite expresar cualquier función de onda:
Calculemos:
Y ahora calculemos:
Ambos resultados dan lo mismo. Entonces, los operadores conmutan, es lo mismo aplicar fg que gf a cualquier función de onda válida. En el próximo post veremos qué significado físico tiene esto de la conmutación de operadores. En algún momento aparecerá hay muchos operadores que no conmutan, casi diría que es lo habitual. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Septiembre, 2015, 7:30
Publicado el 21 de Septiembre, 2015, 7:29
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Veamos que tiene para contar Dirac del trabajo de Schrodinger, luego de que éste no consiguiera en primera instancia un desarrollo relativístico:
Tiempo después, Dirac fue completando su propia teoría, denominada teoría de las transformaciones, que estamos viendo en la serie de posts Teoría de la Transformación de Dirac, un desarrollo moderno. De nuevo encontramos a Dirac dando importancia a la teoría y a su belleza interna, antes que al acuerdo con los experimentos:
Desconozco que experimentos había entonces (1926) indicando la presencia del espin electrónico. Tampoco Dirac estaba satisfecho con la ecuación de Klein-Gordon y no tardó en desarrollar su propia ecuación relativista, notable ecuación que le dió aún más reconocimiento entre sus colegas, y lo preparó para el premio Nobel.
En el próximo post veremos cómo Dirac describe su principal avance en el tema, al descubrir la ecuación que lleva su nombre. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Septiembre, 2015, 16:12
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Es hora de plantear un primera versión de la función zeta. Escribimos:
Tomando, al menos por ahora, el parámetro s valores naturales, s = 1, 2, 3, …. Ya sabemos que para s=1 tenemos la serie armónica:
Que es divergente (ver …). Y para s = 2, tenemos la serie:
Que en los post anteriores, gracias la solución del problema de Basilea, vimos cómo Euler consigue el valor notable:
Bueno, Euler y su imaginación al parecer no descansaban nunca, y fue él el que introdujo la función zeta, que ahora estamos examinando con s natural (Euler la consideró también para s real). Y encontró una expresión para la función zeta, basada en utilizar números primos. (Algo vimos en …). De nuevo, Euler hace un pase mágico y convierte una serie en un producto. La idea es multiplicar:
Donde p recorre todos los números primos (en el post mencionado más arriba, vimos el caso s=1). Si vamos expandiendo el producto, y ordenando los términos resultantes de menor a mayor, vamos obteniendo TODOS los números naturales, elevados a la potencia s. Pero Euler, aprovechó esto para hacer la multiplicación de los inversos:
Si hacemos la cuenta de la expansión de esta multiplicación infinita, sobre todos los primos, queda la suma de los inversos de los números naturales a la potencia s:
Pero si recordamos algo de álgebra, cada término de la multiplicación de la derecha (una suma infinita de potencias de inversos) es el límite de:
Con todo esto, llegamos a la expresión alternativa de Euler para la función zeta:
Y acá comienza a aparecer algo del tema con el que comenzó esta serie: los números primos. Riemann, con su "paper", quería establecer la cantidad de números primos menores que un número dado. Y consiguió relacionarlo con varias expresiones, no triviales, donde al final se encontraba la función zeta. Que ahora descubrimos, gracias al trabajo de Euler, que guarda una inesperada relación con los números primos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 19 de Septiembre, 2015, 18:00
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Veamos de ver algunas relaciones que cumple p(n). Nos gustaría conocer cómo obtener un valor para cada n, con una fórmula simple. No es fácil el asunto, pero sí es muy interesante. Primero, con los pocos valores que conocemos de esta función, vemos que p(n) es una función creciente, es más, es estrictamente creciente. Es decir p(n+1) > p(n) Eso ya quedó casi demostrado en el anterior post, donde vimos procedimientos para obtener nuevas particiones n+1 a partir de particiones n. Veamos hoy más en detalle esos procedimientos y alguno nuevo. Sean las particiones de 3: 3 = 1 + 1 + 1 Dispuestas en la "forma normal" que empleamos en el primer post: los términos que suman dispuestos en forma decreciente. Si al primer término le sumamos 1, quedan las particiones de 4: 4 = 2 + 1 + 1 Pero no son todas, hay más. Por lo menos, está: 4 = 1 + 1 + 1 + 1 que no pudo ser obtenida con el truco de sumar 1 al primer término. Entonces, p(n+1) > p(n), siempre. A esta manera de obtener algunas particiones de n+1 dadas las de n, lo vamos a llamar procedimiento alfa. Otro procedimiento que vimos para obtener parciciones de n+1, es agregando un 1 a la derecha de cada partición de n, en el ejemplo anterior sería: 4 = 1 + 1 + 1 + 1 Llamemos a esta manera de producir particiones, el procedimiento beta. Descubrimos que algunas particiones se producen por alfa, algunas por beta, y que algunas parciciones se producen POR LOS DOS procedimientos. Ambos procedimientos generan particiones normalizadas. Nos gustaría decir que con los procedimientos alfa y beta obtenemos TODAS las particiones de n+1, pero no. Ya en el ejemplo de n=3 a 4, hay una partición que falta: 4 = 2 + 2 Bien, veamos otro procedimiento para obtener ALGUNAS de las particiones n+1, que fue mencionado en el anterior post. Es, dada una partición de n, sumar 1 al término de más a la derecha. No siempre es posible sin romper la normalización. En el caso n=3, obtenemos para n=4 las particiones "válidas": 4 = 2 + 2 al aplicar este procedimiento (sumar 1 al último término) a las particiones: 3 = 2 + 1 no pudiendose aplicar este procedimiento a: 3 = 1 + 1 + 1 porque daría una "no válida": 3 = 1 + 1 + 2 donde se rompe nuestra regla de normalización. Esta es una señal de atención: tal vez al normalizar estamos perdiendo otros caminos de exploración de este problema. Tal vez habría que explorar la generación de particiones, sin preocuparse si son "válidas" o no, y luego "contar las repetidas". Pero por ahora, sigamos considerando sólo las válidas. Llamemos a este procedimiento, el sumar 1 al término de la derecha, el procedimiento gamma. Algo apareció interesante: combinando alfa, beta y gamma, pudimos obtener TODAS las particiones de 4. ¿Será así en el caso general? Ese es el tipo de preguntas que nos tenemos que hacer si queremos jugar a las matemáticas. Estos procedimientos toman como entrada una partición válida de n y producen una o cero particiones válidas de n+1. Sería interesante conocer un procedimiento que produzca TODAS las de n+1. El tema que hace interesante a la función p(n) es: - Depende de alguna forma de los valores anteriores, como p(n-1) Sería interesante describir un procedimiento tal que, dada una partición de n, SIEMPRE pueda producir UNA O MAS particiones de n+1, aunque en el recuento final aparezcan repetidas. Todos temas interesantes a explorar en próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Septiembre, 2015, 7:40
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Es muy interesante lo que comentaba Dirac en el anterior post, sobre las ideas de Hamilton, y la no conmutatividad que encontraba como fundamental en el trabajo de Heisenberg. Leo:
El trío Heisenberg/Born/Jordan publicó dos "papers" con resultados similares a los del primer "paper" famoso de Dirac. Pero éste buscaba más la belleza matemática, que el uso de variables experimentales. Y por ese tiempo, comienzos de 1926, comienzan a publicarse los "papers" de Schrödinger. No con sus primeras ideas, como vemos:
De nuevo, Dirac hace hincapié en el tema de la belleza de una teoría.
El problema de Schrödinger fue que intentó desde el principio alcanzar una teoría relativista, compatible con la relatividad. No publicó sus resultados, y al parecer, la principal fuente de esta historia es el propio Dirac, a quien Schrödinger personalmente informó años después de sus desventuras. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Septiembre, 2015, 7:30
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Demostremos hoy que las medianas de un triángulo se intersectan en un único punto. Sea un triángulo cualquiera ABC:
Tracemos la mediana por el lado AB (la mediana es línea perpendicular que pasa por el punto medio de un lado):
La mediana del lado AB pasa por el punto M. Cualquier punto de la mediana, como el Q, forma un triángulo isóceles con el lado AB, en este caso el triángulo AQB. Tracemos la mediana del lado AC.
Se intersecta en algún punto con la anterior mediana de AB, digamos el punto O. Es necesario que se intersecten porque son líneas perpediculares a dos lados no paralelos, así que en algún punto se tienen que cruzar. Podría ser que el punto de intersección caiga FUERA del triángulo ABC, pero no importa para la demostración. Notamos algo: los triángulos AOB, y AOC, son triángulos isósceles. Comparten el lado AO, entonces OC es igual a OA y es igual a OB. Conclusión: el triángulo BCO es TAMBIEN isósceles. Tracemos su altura, que pasa por el vértice O:
Pues bien, esa altura, que pasa por OP, por ser altura de un triángulo isósceles OCB, divide a la base CB en dos segmentos iguales, CP y PB. Entonces, esa recta ES LA MEDIANA del lado CB: es perpendicular, por ser altura de OCB, y es mediana por separar al lado CB en dos segmentos iguales. Vemos entonces que esta tercer mediana PASA, por necesidad de su construcción, POR LA INTERSECCION de las otras dos medianas, como se quería demostrar. Este punto se denomina circumcentro. En el próximo post, aprovechando este resultado, demostraremos que la intersección de las alturas de un triángulo cualquiera TAMBIEN es un solo punto, llamado ortocentro. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Septiembre, 2015, 7:43
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Para lo que sigue, nos conviene recordar la identidad:
Y también:
Sabiendo esto, podemos ir deduciendo en cualquier momento la suma y resta de cosenos, senos. Veamos:
Pero de:
Se deduce, igualando parte real e imaginaria de los dos últimos resultados:
De la misma forma podemos desarrollar:
Llegando a:
Sumando la suma y diferencia de cosenos queda:
Y tomando la diferencia:
Haciendo lo mismo con los senos:
Ha sido un montón de trabajo. ¿Y para qué? Estos últimos tres resultados nos van a servir para calcular la "multiplicación" de cos mx, cos nx, sen mx, sen nx, entre sí, según lo definido como "multiplicación" en los anteriores posts. Y ahí descubriremos la ortogonalidad de tales funciones, cuando n es distinto de m. Temas para el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Septiembre, 2015, 17:28
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Comencemos hoy a examinar el caso:
Un caso sencillo pero fascinante. En los dos anteriores posts quedó resuelto el caso de exponente n = 4. Pero la solución expuesta es algo así como un conejo sacado de la galera: una consecuencia que no parece necesaria, y solamente apoyada en algún lema oscuro. Pero el caso n=3 tiene otro sabor: el estudiarlo nos va a abrir puertas a temas interesantes, relacionados con el teorema de Fermat, pero también con la teoría de números en general. Consideremos el caso donde x, y, z no tienen ni un solo factor en común. Entonces, cualquiera sea el exponente n (impar), hay dos de esos números que son impares, y el otro es par. Si hubiera dos pares, entonces tendrían como factor común el dos, contra lo supuesto. Si los tres fueran impares, elevados a potencias impares darían impar, y sumados dos de ellos darían par, no pudiéndose obtener el resultado del tercero. Conclusión: siempre hay dos impares y un par, cuando n es exponente impar. Podemos, sin perder generalidad, suponer que x e y son los dos impares. Si x y z fueran los impares, bastaría pasar en la ecuación de arriba a z del lado izquierdo, y a y del lado derecho. Pero es un detalle, que tenemos que tener en cuenta. Siendo x, e impares, se deduce que su suma y resta son valores pares, digamos:
y
Sumando y restando las dos ecuaciones, podemos escribir:
y
Como x e y son impares, entonces p y q no pueden ser a la vez impares, o a la vez pares. Se dice que tienen DISTINTA paridad. Como no hay factores comunes entre x e y:
Donde el par entre paréntesis significa "el máximo común divisor". Esto implica entonces que tampoco p y q tengan factores comunes, pues si tuvieran uno, sería factor común entre x e y, quedando:
Reemplazando en la ecuación original, queda:
Esto tiene un toque interesante. Si desarrollamos las potencias de ambos binomios, al tener un cambio de signo en q, algunos términos se anulan. Desarrollemos cada potencia de binomio, quedando
Sumando las dos ecuaciones:
Bien, llegados a este punto, vamos a ir viendo cómo el factor cubo perfecto de la derecha se puede ir repartiendo entre los dos factores de la izquierda. Al no tener factores comunes p y q, podría pensarse que:
Es decir, que no tienen factores comunes. Pero hay un caso adicional que tenemos que contemplar. El factor 3 de q al cuadrado influye para que también sea posible:
Cualquier otro factor común que no sea ni 1 ni 3, sería factor común de p y q, contra lo supuesto. El 2 tampoco puede ser factor común, porque si lo fuera, entonces:
sería par. Pero la única forma de que esto suceda, es cuando p y q son ambos pares, o ambos impares. Pero ya sabemos que p y q tienen DISTINTA paridad. Queda descartado el 2 como factor común. Sólo nos queda examinar el camino de factor común 1 o 3. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Septiembre, 2015, 7:32
Publicado el 9 de Septiembre, 2015, 7:20
Publicado el 3 de Septiembre, 2015, 7:34
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Varios enlaces de este fascinante tema, algunas introducciones, ver por ejemplo, el libro electrónico Elementary Number Theory, listo para bajarse. What is number theory? - HowStuffWorks Journal of Number Theory - Elsevier Elementary Number Theory International Journal of Number Theory (World Scientific) An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org NUMBER THEORY WEB What Is Number Theory? The 17-armed spiral within a spiral | mathbabe abstract algebra - How to prove that the sum and product of two algebraic numbers is algebraic? - Mathematics Stack Exchange abstract algebra - Sums and products of algebraic numbers - Mathematics Stack Exchange number-theory Mock modular form - Wikipedia, the free encyclopedia Partition (number theory) - Wikipedia, the free encyclopedia Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia Coloración con condiciones - Gaussianos | Gaussianos Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Septiembre, 2015, 7:56
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Tiempo de escribir las nuevas resoluciones y repasar las del mes anterior: - Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica [pendiente] Además, estudié y publiqué: El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (5) Fueron temas muy interesantes. Voy a seguir este mes con: - Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica Nos leemos! Angel "Java" Lopez |