Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 12 de Septiembre, 2015, 17:28

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Comencemos hoy a examinar el caso:

Un caso sencillo pero fascinante. En los dos anteriores posts quedó resuelto el caso de exponente n = 4. Pero la solución expuesta es algo así como un conejo sacado de la galera: una consecuencia que no parece necesaria, y solamente apoyada en algún lema oscuro.

Pero el caso n=3 tiene otro sabor: el estudiarlo nos va a abrir puertas a temas interesantes, relacionados con el teorema de Fermat, pero también con la teoría de números en general.

Consideremos el caso donde x, y, z no tienen ni un solo factor en común. Entonces, cualquiera sea el exponente n (impar), hay dos de esos números que son impares, y el otro es par. Si hubiera dos pares, entonces tendrían como factor común el dos, contra lo supuesto. Si los tres fueran impares, elevados a potencias impares darían impar, y sumados dos de ellos darían par, no pudiéndose obtener el resultado del tercero. Conclusión: siempre hay dos impares y un par, cuando n es exponente impar.

Podemos, sin perder generalidad, suponer que x e y son los dos impares. Si x y z fueran los impares, bastaría pasar en la ecuación de arriba a z del lado izquierdo, y a y del lado derecho. Pero es un detalle, que tenemos que tener en cuenta. Siendo x, e impares, se deduce que su suma y resta son valores pares, digamos:

y

Sumando y restando las dos ecuaciones, podemos escribir:

y

Como x e y son impares, entonces p y q no pueden ser a la vez impares, o a la vez pares. Se dice que tienen DISTINTA paridad.

Como no hay factores comunes entre x e y:

Donde el par entre paréntesis significa "el máximo común divisor". Esto implica entonces que tampoco p y q tengan factores comunes, pues si tuvieran uno, sería factor común entre x e y, quedando:

Reemplazando en la ecuación original, queda:

Esto tiene un toque interesante. Si desarrollamos las potencias de ambos binomios, al tener un cambio de signo en q, algunos términos se anulan. Desarrollemos cada potencia de binomio, quedando


Sumando las dos ecuaciones:


Bien, llegados a este punto, vamos a ir viendo cómo el factor cubo perfecto de la derecha se puede ir repartiendo entre los dos factores de la izquierda. Al no tener factores comunes p y q, podría pensarse que:

Es decir, que no tienen factores comunes. Pero hay un caso adicional que tenemos que contemplar. El factor 3 de q al cuadrado influye para que también sea posible:

Cualquier otro factor común que no sea ni 1 ni 3, sería factor común de p y q, contra lo supuesto. El 2 tampoco puede ser factor común, porque si lo fuera, entonces:

sería par. Pero la única forma de que esto suceda, es cuando p y q son ambos pares, o ambos impares. Pero ya sabemos que p y q tienen DISTINTA paridad. Queda descartado el 2 como factor común. Sólo nos queda examinar el camino de factor común 1 o 3.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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