Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Septiembre, 2015, 7:30

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Demostremos hoy que las medianas de un triángulo se intersectan en un único punto.

Sea un triángulo cualquiera ABC:

Tracemos la mediana por el lado AB (la mediana es línea perpendicular que pasa por el punto medio de un lado):

La mediana del lado AB pasa por el punto M. Cualquier punto de la mediana, como el Q, forma un triángulo isóceles con el lado AB, en este caso el triángulo AQB.

Tracemos la mediana del lado AC.

Se intersecta en algún punto con la anterior mediana de AB, digamos el punto O. Es necesario que se intersecten porque son líneas perpediculares a dos lados no paralelos, así que en algún punto se tienen que cruzar. Podría ser que el punto de intersección caiga FUERA del triángulo ABC, pero no importa para la demostración.

Notamos algo: los triángulos AOB, y AOC, son triángulos isósceles. Comparten el lado AO, entonces OC es igual a OA y es igual a OB. Conclusión: el triángulo BCO es TAMBIEN isósceles. Tracemos su altura, que pasa por el vértice O:

Pues bien, esa altura, que pasa por OP, por ser altura de un triángulo isósceles OCB, divide a la base CB en dos segmentos iguales, CP y PB. Entonces, esa recta ES LA MEDIANA del lado CB: es perpendicular, por ser altura de OCB, y es mediana por separar al lado CB en dos segmentos iguales.

Vemos entonces que esta tercer mediana PASA, por necesidad de su construcción, POR LA INTERSECCION de las otras dos medianas, como se quería demostrar. Este punto se denomina circumcentro.

En el próximo post, aprovechando este resultado, demostraremos que la intersección de las alturas de un triángulo cualquiera TAMBIEN es un solo punto, llamado ortocentro.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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