Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 19 de Septiembre, 2015, 18:00

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Veamos de ver algunas relaciones que cumple p(n). Nos gustaría conocer cómo obtener un valor para cada n, con una fórmula simple. No es fácil el asunto, pero sí es muy interesante. Primero, con los pocos valores que conocemos de esta función, vemos que p(n) es una función creciente, es más, es estrictamente creciente. Es decir

p(n+1) > p(n)

Eso ya quedó casi demostrado en el anterior post, donde vimos procedimientos para obtener nuevas particiones n+1 a partir de particiones n. Veamos hoy más en detalle esos procedimientos y alguno nuevo. Sean las particiones de 3:

3 = 1 + 1 + 1
3 = 2 + 1
3 = 3

Dispuestas en la "forma normal" que empleamos en el primer post: los términos que suman dispuestos en forma decreciente. Si al primer término le sumamos 1, quedan las particiones de 4:

4 = 2 + 1 + 1
4 = 3 + 1
4 = 4

Pero no son todas, hay más. Por lo menos, está:

4 = 1 + 1 + 1 + 1

que no pudo ser obtenida con el truco de sumar 1 al primer término. Entonces, p(n+1) > p(n), siempre.

A esta manera de obtener algunas particiones de n+1 dadas las de n, lo vamos a llamar procedimiento alfa.

Otro procedimiento que vimos para obtener parciciones de n+1, es agregando un 1 a la derecha de cada partición de n, en el ejemplo anterior sería:

4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 2 + 1 + 1
4 = 3 + 1

Llamemos a esta manera de producir particiones, el procedimiento beta. Descubrimos que algunas particiones se producen por alfa, algunas por beta, y que algunas parciciones se producen POR LOS DOS procedimientos. Ambos procedimientos generan particiones normalizadas.

Nos gustaría decir que con los procedimientos alfa y beta obtenemos TODAS las particiones de n+1, pero no. Ya en el ejemplo de n=3 a 4, hay una partición que falta:

4 = 2 + 2

Bien, veamos otro procedimiento para obtener ALGUNAS de las particiones n+1, que fue mencionado en el anterior post. Es, dada una partición de n, sumar 1 al término de más a la derecha. No siempre es posible sin romper la normalización. En el caso n=3, obtenemos para n=4 las particiones "válidas":

4 = 2 + 2
4 = 4

al aplicar este procedimiento (sumar 1 al último término) a las particiones:

3 = 2 + 1
3 = 3

no pudiendose aplicar este procedimiento a:

3 = 1 + 1 + 1

porque daría una "no válida":

3 = 1 + 1 + 2

donde se rompe nuestra regla de normalización. Esta es una señal de atención: tal vez al normalizar estamos perdiendo otros caminos de exploración de este problema. Tal vez habría que explorar la generación de particiones, sin preocuparse si son "válidas" o no, y luego "contar las repetidas". Pero por ahora, sigamos considerando sólo las válidas.

Llamemos a este procedimiento, el sumar 1 al término de la derecha, el procedimiento gamma. Algo apareció interesante: combinando alfa, beta y gamma, pudimos obtener TODAS las particiones de 4. ¿Será así en el caso general? Ese es el tipo de preguntas que nos tenemos que hacer si queremos jugar a las matemáticas.

Estos procedimientos toman como entrada una partición válida de n y producen una o cero particiones válidas de n+1. Sería interesante conocer un procedimiento que produzca TODAS las de n+1. El tema que hace interesante a la función p(n) es:

- Depende de alguna forma de los valores anteriores, como p(n-1)
- Los procedimientos que estamos explorando a veces no producen TODAS las particiones que buscamos
- Cuando aplicamos más de un procedimiento, obtenemos a veces particiones repetidas

Sería interesante describir un procedimiento tal que, dada una partición de n, SIEMPRE pueda producir UNA O MAS particiones de n+1, aunque en el recuento final aparezcan repetidas.

Todos temas interesantes a explorar en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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