Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Septiembre, 2015, 16:12

Anterior Post
Siguiente Post

Es hora de plantear un primera versión de la función zeta. Escribimos:

Tomando, al menos por ahora, el parámetro s valores naturales, s = 1, 2, 3, …. Ya sabemos que para s=1 tenemos la serie armónica:

Que es divergente (ver …). Y para s = 2, tenemos la serie:

Que en los post anteriores, gracias la solución del problema de Basilea, vimos cómo Euler consigue el valor notable:

Bueno, Euler y su imaginación al parecer no descansaban nunca, y fue él el que introdujo la función zeta, que ahora estamos examinando con s natural (Euler la consideró también para s real). Y encontró una expresión para la función zeta, basada en utilizar números primos. (Algo vimos en …). De nuevo, Euler hace un pase mágico y convierte una serie en un producto. La idea es multiplicar:

Donde p recorre todos los números primos (en el post mencionado más arriba, vimos el caso s=1). Si vamos expandiendo el producto, y ordenando los términos resultantes de menor a mayor, vamos obteniendo TODOS los números naturales, elevados a la potencia s. Pero Euler, aprovechó esto para hacer la multiplicación de los inversos:

Si hacemos la cuenta de la expansión de esta multiplicación infinita, sobre todos los primos, queda la suma de los inversos de los números naturales a la potencia s:

Pero si recordamos algo de álgebra, cada término de la multiplicación de la derecha (una suma infinita de potencias de inversos) es el límite de:

Con todo esto, llegamos a la expresión alternativa de Euler para la función zeta:

Y acá comienza a aparecer algo del tema con el que comenzó esta serie: los números primos. Riemann, con su "paper", quería establecer la cantidad de números primos menores que un número dado. Y consiguió relacionarlo con varias expresiones, no triviales, donde al final se encontraba la función zeta. Que ahora descubrimos, gracias al trabajo de Euler, que guarda una inesperada relación con los números primos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez