Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Septiembre, 2015, 18:53

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Tenemos representado un estado físico por una función de onda:

Y las magnitudes físicas corresponden a operadores como:

y

Que pueden operar sobre la función de onda para obtener valores medios:

y

Estamos examinando el caso donde los valores de una magnitud física se presentan discretos, es decir, no continuos (luego estudiaremos el caso continuo; incluso se da que una magnitud física, como la energía, se presente en un rango discreto y en otro rango continuo). Supongamos que ambos operadores f y g representan valores discretos. Para el primero, existen entonces n funciones de onda especiales, tales que:

Donde fn es un valor numérico, en general real. Que pueden representar CUALQUIER estado físico como:

¿Qué pasa con operar g sobre esas n autofunciones de f? g operador sobre Psi-n puede dar una función de onda cualquiera, esa es la función del operador. Pero resulta algo interesante, desde el punto de vista matemático y aún más físico, cuando los operadores conmutan. No siempre es el caso, pero que dos operadores conmuten es:

Es decir, que el orden de operación sobre una función de onda cualquiera no afecta el resultado:

Cuando es éste el caso, resulta algo interesante. Apliquemos gf sobre la autofunción n de f:

Si los operadores conmutan esto es igual a:

Tomando ambos resultados como iguales:

Queda entonces que:

ES AUTOFUNCION DE F, con autovalor asociado fn. Si para cada autovalor fn hay SOLO UNA autofunción asociada normalizada (esto es un gran SI), entonces este resultado es múltiplo de esa autofunción:

Y ese factor numérico lambda es entonces AUTOVALOR de g:

Y la autofunción de f es AUTOFUNCION de g TAMBIEN. El mismo razonamiento se puede aplicar si partimos desde una autofunción de g. El único punto delicado es tener SOLO UNA autofunción por cada AUTOVALOR DISTINTO (si no fuera el caso, habría que aplicar este resultado a subespacios generados por las autofunciones del mismo autovalor; en el caso de arriba, el subespacio es el rayo (el multiplicar por un valor escalar) de la autofunción de la que partimos).

Partamos ahora al revés. Suponemos que f y g comparten autofunciones:

y

Para cada autofunción (ver que compartir NO SIGNIFICA tener los MISMOS AUTOVALORES, solo tener las MISMAS AUTOFUNCIONES).

Veamos que ambos operadores conmutan. Sabemos que las autofunciones forman un sistema completo que permite expresar cualquier función de onda:

Calculemos:

Y ahora calculemos:

Ambos resultados dan lo mismo. Entonces, los operadores conmutan, es lo mismo aplicar fg que gf a cualquier función de onda válida.

En el próximo post veremos qué significado físico tiene esto de la conmutación de operadores. En algún momento aparecerá hay muchos operadores que no conmutan, casi diría que es lo habitual.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia