Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Septiembre, 2015, 18:53

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En el espacio vectorial que presentamos en el anterior post, los vectores están dotados de un producto. Las características de esta operación producto suenan familiares, excepto por:

Donde se ve que el producto no es conmutativo: al conmutar los argumentos, se obtiene el conjugado complejo. Bien podríamos haber tomado un producto conmutativo, pero para los matemáticos no es un espacio vectorial con producto tan interesante como el que vimos. Porque al ser definido de esta forma, el producto de un vector por sí mismo, da un número que cumple:

Que solamente se cumple si el producto de cada vector por sí mismo ES UN NUMERO REAL. Al tener esta propiedad, podemos jugar con más propiedades. Por ejemplo, exigimos también que:

Lo que es plausible porque el auto producto de un vector es un número real. Al exigir que sea positivo, podemos hablar de su raíz cuadrada positiva real, y definir la norma de un vector:

como igual a:

La norma y el producto interno satisfacen dos importantes teoremas. Uno, la desigualdad de Schwartz, sólo relativo al producto interno:

Y la desigualdad triangular, donde interviene la norma:

Para nuestro tema no hace falta demostrarlos, pero es importante ver que son propiedades del espacio vectorial con producto interno como lo definimos, no es un tema físico.

Al igual que en la geometría real, podemos definir que dos vectores son ortogonales si su producto interno da cero. Entonces, un conjunto de vectores:

Se dice ortonormal, si sus vectores son ortogonales dos a dos, y su norma es la unidad. Esto es lo mismo que decir:

Donde a la derecha aparece la delta de Kronecker, que es igual a cero si i <> j, y es igual a uno si i=j.
Ver que el producto interno que hemos definido se encuentra relacionado con:

https://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear_form

Y es fácil ver que si a y b son escalares complejos, entonces:

Es como que el producto así definido está como algo "retorcido", no es lo mismo multiplicar el primer vector por un escalar que multiplicar el segundo vector por el mismo escalar. Esa es una cualidad distintiva de las formas sesquilineares.

En el próximo post veremos de introducir el espacio dual. Todavía son todos prolegómenos matemáticos. Luego tendremos que ver la relación de ambos espacios vectoriales con la teoría de Dirac propiamente dicha.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia