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Octubre del 2015
Publicado el
31 de Octubre, 2015, 15:07
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Dirac explica que lo que permite entonces calcular la teoría, no son resultados determinados, sino probabilidad de resultados:
In this way we see that such a drastic departure from ordinary ideas as the assumption of superposition relationships between the states is possible only on account of the recognition of the importance of the disturbance accompanying an observation and of the consequent indeterminacy in the result of the observation. When an observation is made on any atomic system that is in a given state, in general the result will not be determinate, i.e., if the experiment is repeated several times under identical conditions several different results may be obtained. It is a law of nature, though, that if the experiment is repeated a large number of times, each particular result will be obtained in a definite fraction of the total number of times, so that there is a definite probability of its being obtained. This probability is what the theory sets out to calculate. Only in special cases when the probability for some result is unity is the result of the experiment determinate.
De esta manera vemos que tal drástica separación de las ideas comunes como la suposición de las relaciones de superposición entre estados es posible solamente tomando en cuenta la importancia de la perturbación que acompaña una observación y de la indeterminación que aparece en el resultado de la observación. Cuando una observación es hecha n cualquier sistema atómico que está en un estado dado, en general el resultado no será determinado, esto es, si el experimento es repetido varias veces bajo idénticas condiciones pueden obtenerse varios diferentes resultados. Sin embargo, es una ley de la naturaleza que si el experimento se repite una gran cantidad de veces, cada resultado particular será obtenido en una fración definida del total de número de veces, así que hay una probabilidad definida de esos resultados. Esta probabilidad es lo que la teoría nos permite calcular. Solamente en casos especiales cuando la probabilidad para cierto resultado es la unidad, puede entonces ser determinado el resultado de un experimento.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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27 de Octubre, 2015, 6:42
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26 de Octubre, 2015, 6:40
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Llegamos a la característica física principal del modelo de superposición de estados. Por más que tengamos superposición de estados, ésta no se expresa directamente, sino a través de resultados que dependen de la probabilidad. Leamos a Dirac:
The non-classical nature of the superposition process is brought out clearly if we consider the superposition of two states, A and B, such that there exists an observation which, when made on the system in state A, is certain to lead to one particular result, a say, and when made on the system in state B is certain to lead to some different result, b say. What will be the result of the observation when made on the system in the superposed state? The answer is that the result will be sometimes a and sometimes b, according to a probability law depending on the relative weights of A and B in the superposition process. It will never be different from both a and b. The intermediate character of the state formed by superposition thus express itself through the probability of a particular result for an observation being intermediate between the corresponding probabilities for the original states, not through the result itself being intermediate between the corresponding results for the original states.
La naturaleza no clásica del proceso de superposición se ve claramente si consideramos la superposición de dos estados, A y B, tales que existe una observación tal, que cuando el sistema está en estado A, resulta un resultado particular, digamos a, y cuando la observación se hace en un sistema en estado B conduce a otro resultado diferente, digamos b. ¿Cuál será el resultado de la observación cuando se hace sobre un sistema en un estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será algunas veces a y otras veces b, de acuerdo a una ley de probabilidad que depende de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será el resultado diferente de a y b. El caracter intermedio del estado formado por la superposición se expresa a sí mismo a través de la probabilidad de un resultado particular para una observación que es intermedio entre las correspondientes probabilidades de los estados originales, no como un resultado que en sí mismo es intermedio entre los correspondientes estados de los estados originales.
Es decir, se obtienen resultados "puros", no mezclas de los estados originales. La superposición de estados se expresa mediante la probabilidad de los resultados "puros", más que por un resultado intermedio, como podría ser el promedio entre resultado a y resultado b. Una moneda cuántica, en superposición de estados cara/ceca, cuando interviene en una observación, resulta en cara o resulta en ceca, pero nunca en una mezcla de resultados.
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Angel "Java" Lopez
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25 de Octubre, 2015, 7:42
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Dirac se encuentra con el problema de la energía negativa en su teoría del electrón relativista. Veamos hoy cómo encuentra una solución, y un nuevo problema:
I found that it was not really very hard to see a way out of this difficulty. The idea was suggested by the chemical theory of valency in which one is used to the idea of electrons in an atom forming closed shells which do not contribute at all to the valency. One gets a contribution from an electron outside closed shells and also a possible contribution coming from an incomplete shell or a hole in a closed shell.
En química, esto sucede porque los electrones son fermiones y obedecen el principio de exclusión de Pauli. Dirac tuvo suerte en encontrar esta solución trabajando sobre un fermión como el electrón. No hubiera encontrado la misma solución en caso de trabajar con un bosón, inicialmente, que no forman "closed shells".
One could apply the same idea to the negative energy states and assume that normally all the negative energy states are filled up with electrons, in the same way in which the closed shells in the chemical atom are filled up. In that way an ordinary positive energy electron would not be able to jump into a state of negative energy. However, one would expect that under certain conditions there might be a hole in the negative energy states and one had to get an interpretation for these holes.
Es muy original la idea de los agujeros, digna de la imaginación de Dirac. Y veamos también cómo él se inclina por considerar que electrones y agujeros son "lo mismo", son simétricos en cualidades. Estuvo a punto de predecir la existencia de una partícula nueva, que hoy llamamos positrón. Pero no fue ese el paso que dió. Se vió influido por lo que se conocía entonces: sólo había protones como partículas de carga positiva.
One can see at once that such a hole will appear as a particle. It will be a particle with a positive charge and a positive mass. From the beginning when I had this idea, it seemed to me that there would be symmetry between the holes and the electrons and therefore the holes must have the same mass as the electrons. How could one interpret the holes? They would be particles of positive charge. The only particles of positive charge known at that time were protons. For decades physicists had been building up their theory of matter entirely in terms of electrons and protons. They were quite satisfied to have just these two basic particles. The electrons carry the negative charge, the protons carry the positive charge. That was all that was needed. Rutherford had put forward some tentatives ideas that there might be a third particle - a neutron. That was a speculation which people talked about occasionally, but nobody took it very seriously.
Vemos que tampoco los neutrones había pasado de ser un modelo teórico hasta entonces.
On this basis, that the only particles in nature are electrons and protons, it seemed to me that the holes would have to be protons. And that was a great worry because the protons have a very different mass from the electrons. They are very much heavier. How could one explain this difference in mass?
El explicar la diferencia de masa es, digamos, el problema equivocado, vamos a verlo en el próximo post.
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Angel "Java" Lopez
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24 de Octubre, 2015, 15:43
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Vayamos hoy por la demostración de que las alturas de un triángulo se intersectan en un solo punto, el llamado ortocentro. Por el post anterior, sabemos que las medianas de un triángulo se cortan en un único punto. Veamos de aprovechar esa demostración.
Partimos de un triángulo ABC:
Por cada vértice, trazamos una recta paralela al lado opuesto:
Se forma un triángulo A'B'C'. Podemos ver que CBC'A es un paralelogramo, con lo que queda que el segmento CB es igual al segmente AC'. Por lo mismo, CBAB' es un paralelogramo, y el segmento CB es igual al segmento B'A. Queda entonces que B'A es igual en longitud a AC', con lo que queda demostrado que A es el punto medio del lado B'C'. Por lo mismo, podemos deducir que los vértices del triángulo original son los puntos medios de los lados del nuevo triángulo.
Tracemos las medianas del triángulo A'B'C':
Por el post anterior sabemos que se cortan en un punto. Pero por construcción, la mediana del lado B'C' es perpendicular a ese lado Y ENTONCES ES PERPENDICULAR al lado CB que es paralelo al B'C'. ENTONCES es una altura del triángulo original. Repitiendo la deducción, queda que CADA MEDIANA del triángulo "grande" es ALTURA del triángulo original. Las medianas del triángulo nuevo se cortan en un punto, entonces, las alturas del triángulo original, también se cortan en un punto. Que es lo que queríamos demostrar.
Al principio, para demostrar este teorema del ortocentro, yo había intentando caminos más complicados, apelando a sumas vectoriales y trigonometría. Pero relajándome un poco, y demostrando el teorema de las medianas, surgió en algún momento esta demostración, más sencilla de las que había intentado.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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21 de Octubre, 2015, 8:01
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19 de Octubre, 2015, 6:19
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Veamos hoy una dificultad que encontró Dirac al plantear la teoría relativista en cuántica:
How did the further development of quantum theory proceed after this stage? We had a relativistic equation which worked. It gave agreement with experiment to high accuracy for the simple example of the hydrogen atom. It was not long before a new difficulty appeared. Namely, working with this equation, one found that the electron had states of negative energy. For a particle to be in a state of negative energy, of course, is something which appears quite impossible. From an experimental point of view, it is certainly never observed. So it would seem that one had conquered one difficulty only to plunge into another.
Dirac explica que no es infrecuente esta situación en el avance de la ciencia:
It frequently happens with the development of science that, when one gets over one difficulty, one is immediately faced with a newer difficulty an dyou might at first sight think that no real progress has been made. But real progress is made because the new difficulty is more remote thant the previous one .If one looks into things more closely, one usually sees that the new difficulty was really there all the time. It was just hidden previously and swamped by a more crude difficulty and, when the cruder difficulty is explained away, people focus their attention on the new difficulty.
Pero esta vez, la dificultad no era nueva, solo que antes, en teorías no cuánticas, no tenía relevancia:
When this new difficulty of the negative energy states appeared it was an example of a difficulty that was not really new; it was there all the time. In any relativistic theory this difficulty occurs, even in the old classical theory of Lorenz. But it didn't matter under those conditions because an electron could then never jump into one of the states of negative energy. There was continuity which prohibited such jumps. However, with the new Quantum Theory, such jumps could occur and the difficulty could not be ignored in the way in which it had been previously.
En el siguiente post veremos cómo Dirac logra sortear esta dificultad, de una forma muy original.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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18 de Octubre, 2015, 10:50
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Hace tiempo que no escribo sobre David Hume. Esta semana, me he reencontrado con este filósofo escocés, que me parece sumamente interesante para leer y estudiar. Eso es debido a que el libro de esta semana de la serie filósifis que publicó el diario argentino La Nación (y la semana anterior, publicó sobre Spinoza, otro de los filósofos que me parece hay que estudiar, para entrar en algunos temas).
En este libro sobre Hume, escrito por Gerardo López Sastre, me encuentro con el texto de una carta de Hume a su amigo William Mure of Caldwell, donde se muestra su humor y su manejo de la escritura. Leo:
Corté la pluma, la mojé en tinta y adopté la postura de escribir, sin haber pensado antes en un tema ni haber preparado un solo pensamiento con el que poder entretenerle a usted. Puse mi confianza en mi hado bueno, pidiéndole que me ayudase en un caso de tan urgente necesidad. Pero habiéndome rascado tres veces la cabeza y mordido las uñas otras tres, nada se me presentó y arrojé la pluma con gran indignación. "Oh, tú, instrumento de aburrimiento! - dije - ¿Me abandonas cuando más te necesito y demuestras ser tan falsa amiga? ¿Tienes una repugnancia cuando más te necesito y demuestras ser tan falsa amiga? ¿Tienes una repugnancia secreta a expresar mi amistad para con el leal Mure, que te conoce demasiado bien como para fiarse de tus caprichos, y que jamás te toma en sus manos sin disgusto? Sin embargo, yo, pobre de mí, he puesto en ti mi mayor confianza, y renunciando a la espada, a la toga, a la casaca y a la toilette, me he entregado solo a ti con la esperanza de lograr fortuna y fama. ¡Fuera de aquí! ¡Fuera! Vuelve al ganso de donde viniste. Con él servías para algo cuando lo propulsabas por las regiones etéreas. ¿Por qué, entonces, arrancada de su ala y puesta en mi mano, no reconoces que entre esta y tu lugar de origen hay una cierta semejanza, y no me haces a mí el mismo servicio, prestando ayuda a los vuelos de mi pesada imaginación?
Así acusada, la pluma se puso a sí misma en pie, se colocó entre mis dedos índice y pulgar, y se movió sobre el papel a fin de informarle. [...] Pero para no seguir diciendo más tonterías (gracias a las cuales, sin embargo, me alegra haber podido llenar una hoja de papel): llegué aquí hace unas tres semanas; tengo buena salud y estoy profundamente sumergido en los libros y en el estudio. Dígale a su hermana, Miss Betty (después de saludarla de mi parte), que soy tan serie como ella imagina que un filósofo debería ser: solo me río una vez cada quince días; suspiro tiernamente una vez por semana, pero tengo aspecto malhumorado en todo momento. En breve, ninguna de las metamorfosis de Ovidio mostró jamás un cambio tan absoluto de una criatura humana en una bestia; quiero decir, pasar de ser un hombre galante a ser un filósofo.
Es muy gracioso (casi me recuerda a algunas cartas más contemporáneas como alguna de Groucho Marx), Es refrescante leer a Hume, no solo en una carta de este talante, sino en sus escritos filosóficos, donde se esfuerza por perseguir la claridad y exponer los pasos de su pensamiento.
Ver también:
Estudiando a Hume
Leyendo a Hume
George Horne atacando a Hume
La claridad en Hume y Russel, según Einstein
Hume: La uniformidad humana
Milagros, Huxley, Hume y Martín Gardner
Un fragmento de Hume
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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17 de Octubre, 2015, 17:22
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Veamos esta vez de calcular:
Sabemos desde el post anterior que:
Entonces queda
De cálculo sabemos que al integrar coseno tenemos seno, y queda
Pero el seno de cualquier múltiplo entero de pi es cero, así que la expresión de arriba se anula.
Lo mismo pasa si queremos calcular:
Sabiendo que
Al integrar obtenemos de nuevo una expresión de senos que se anulan.
Todo esto tiene un interés: el integrar entre menos pi y más pi ciertas multiplicaciones de funciones trigonométricas, encontramos que los resultados se anulan. Esto no era evidente, y nos va a servir para poder expresar una función como suma (posiblemente infinita) de esas funciones trigonométricas. Este es el gran avance de Fourier. Lo anterior, el calcular que ciertas integrales se anulan, ha sido largo y laborioso, pero dará sus frutos en los próximos posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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13 de Octubre, 2015, 6:50
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Veamos una explicación de Dirac a un aparente error en una fórmula, en su primer trabajo sobre la ecuación relativista que lleva su nombre:
If you look up my first work on that subject (I do not know if anybody does that nowadays except the historians of science), there is one thing which you can hardly fail to notice. There is an equation which I wrote down which contains the following combination of terms:
w2/c2 + p21 + p22 + p23
Now, when you look at that, if you know anything at all you will say that that is wrong. There should be minus signs here before the p's. So, you will conclude that there was a misprint in the paper. But it was a very prominent misprint and you will perhaps wonder how I could have been so careless as to overlook it. I was a careful proof-reader in those days.
Resulta que no era un error de imprenta. sino parte de lo que se habituaba en aquel entonces. Dirac explica:
Well, the explanation of that is that it is not really a misprint but the appearance of that equation is again the expression of a fear. This work was done in the 1920's when the whole idea of relativity was still quite young. It did not make a splash in the scientific world until the end of the first world war and then it made a very big splash. Everyone was talking about relativity, not only the scientists, but the philosophers and the writers of columns in newspapers....
Fue a consecuencia de la confirmación de la teoría general al observar un eclipse, observación hecha por británicos para confirma la teoría de un alemán, luego de la primera guerra. Por alguna causa, esa noticia causó sensación en la prensa, y de alguna manera llegó a conocimiento de un Dirac aún estudiante. Fue su comienzo en el tema relatividad: desde entonces siempre trató de encontrar expresiones compatibles con las simetrías que muestra esa teoría.
... I do not think there has been any other ocassion in the history of science when an idea has so much caught the public interest as relativity did in those early days, starting from the relaxation which ocurred with the ending of a very serious war.
Now the basic idea of relativity was a symmetry between space and time. But this symmetry is not quite perfect symmetry. In order to make it perfect, one has to change the signs in some of the equations. One can bring about that necessary change in sign by introducing the root of minus 1 into certain physical quantities. (Wherever we have a four-vector we have to introduce the root of minus 1 in certain coordinates.) Referring to quantities which have been doctored in this way, one has complete symmetry between space and time. The early workers in relativistic theory were very much impressed by the symmetry between space and time and wanted to cling to it - to hold onto it at all costs. So they frequently used this notation containing the root of minus 1, just to bring in the complete symmetry. The result was expressions like the one above. This notation was quite common. I see in my early notes that I was using it all the time. It was so common that people did not bother to mention it; whenever they used it in a paper they let it be understood. One could see from the signs in the expression whether the root of minus 1 should be inserted in the basic variables or not and there was no need to waste time explaining it. So, what appears to be a misprint nowadays, when people no longer feel the need to cling to the symmetry of space and time, was not a mistake, but was a historical consequence of the way in which relativity developed.
Minkowsky debe haber sido el primero en proponer el uso de la raíz de menos 1 para mantener una simetría mejor. Recientemente, en el Goldstein de Mecánica Clásica, encuentro que este autor defiende el uso de los signos menos explícitos, antes de llegar al uso de i (la raíz imaginaria de menos 1).
Este es un ejemplo pequeño, pero también habla de lo difícil que puede ser interpretar los "papers" clásicos, donde las notaciones no son las modernas o habituales en estos días.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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12 de Octubre, 2015, 18:12
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Ya vimos que la luz abarca varios fenómenos, no siempre visibles, y que está compuesta de partículas, que llamamos fotones. Sabemos algunas cosas más: la luz avanza en un medio uniforme en línea recta; se "dobla" al cambiar de medio, por ejemplo al pasar de aire a agua; se refleja en un espejo. Pero veamos que tiene una conducta extraña, sin explicación evidente.
Sabemos que al llegar a algunas superficies, la luz es parcialmente reflejada, por ejemplo, en una superficie de agua. Parte de la luz la atraviesa, pero también pasa que parte de la luz es reflejada, lo que le da ese aspecto particular a la superficies de los lagos, que parecen reflejar el paisaje y el cielo. Pero cuando nos acercamos, hasta podemos ver a través del agua, si ésta es límpida. El vidrio es otro ejemplo de superficie que refleja parcialmente la luz.
Hagamos una suposición temporaria. Cuando hablemos de la luz reflejada en el vidrio, supondremos que esa luz se refleja en LA SUPERFICIE del vidrio, es decir, no hay luz que se refleje LUEGO de atravesar un milímetro o dos milímetros del vidrio. Supondremos que la reflexión ocurre sólo en la superficie. Luego abandonaremos esta suposición por algo más realista, pero por ahora nos basta para ir aproximándonos al problema. Cuando un fotón llega al vidrio, interacciona con los electrones de los átomos A TRAVES del vidrio, no SOLO con los de la superficie. El fotón y los electrones "danzan" de una forma peculiar, que hace que algunos fotones se "reflejen", como si se reflejaran sólo en la superficie.
Supongamos que tenemos una fuente de luz L, un vidrio, y dos fotomultiplicadores A y B, este último DENTRO del vidrio (dejemos de lado por ahora la dificultad de poner un detector así DENTRO de nuestro vidrio experimental):
Por cada 100 fotones que parten de la fuenta, hay 96 que llegan al detector B, y 4 que se reflejan en la superficie llegando entonces a detector A.
El problema entonces es explicar: ¿por qué esos 4 fotones se reflejaron? ¿tienen algo especial que los hizo reflejar, algo distinto de los demás 96 fotones que pasaron de largo? ¿cómo "sabe" un fotón dado si reflejarse o no reflejarse? Bueno, buscar una explicación a esto también fue un problema para Newton.
Hay varias teorías para explicar este fenómeno. Una es pensar que la superficie está compuesta un 96% de "agujeros" que dejan pasar la luz, y un 4% de impurezas, manchas que la reflejan:
Veremos en el próximo post por qué Newton rechazó esta explicación, y luego, veremos más características de este fenómeno que no se explican por agujeros y manchas ni por otros modelos explicativos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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11 de Octubre, 2015, 18:19
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Veamos el caso de dos operadores que conmutan. Sabemos que en física cuántica, los operadores representan magnitudes físicas. Se dice que un operador tiene espectro discreto si los posibles valores de su magnitud representada no son continuos. Ha sido un gran descubrimiento en física cuántica que haya sistemas que tienen magnitudes discretas, como la energía de un electrón ligado en un átomo (lo que explica las características discretas del espectro atómico). Por ahora estamos tratando operados y magnitudes discretas.
Los estados físicos los representamos con funciones de onda, y dado un operador con espectro discreto, existen funciones de onda tales que:
Que se llaman autofunciones del operador f. Los coeficientes fn son llamados los autovalores. Ahora bien, cuando medimos la magnitud f, de un estado cualquiera, expresado en autofunciones de f:
El valor obtenido es UNO de los autovalores fn, con una probabilidad proporcional a:
Si el estado original es el representado por la autofunción:
El valor obtenido en "la medida" de f será siempre el autovalor:
Decimos "la medida" porque esto no implica experimento u observador consciente que mide esa magnitud. El mismo resultado aparece en el núcleo de las estrellas, donde no hay observador consciente. Es algo peculiar de la naturaleza: no podemos predecir el resultado fn, sino solamente su probabilidad. Cuando el estado inicial es el representado por una autofunción del operador f, el resultado esperado es fn con una probabilidad de 1.
Pero si resulta que esa función de onda es TAMBIEN autofunción de otro operador g, que representa otra magnitud física, se da:
Luego de medir f en una autofunción de f, el estado SIGUE representado por la misma función de onda. Podemos decir que la función de onda queda "trasfornada" por la medida de f, pero en el caso de las autofunciones de f, se "trastornan" a su mismo valor, no cambian:
Si entonces medimos g, obtenemos gn:
Lo mismo pasa si primero medimos g y luego f. La función de onda no cambia, no "se trastorna", no "salta". Y los valores obtenidos son los autovalores gn y fn. Esto de "no salto" en "la medida" es una cualidad de las autofunciones de un operador.
Se dice entonces que las magnitudes f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. No es un tema que esté muy claramente explicado, y la explicación de arriba es sólo una aproximación. Si en cambio, partimos de una función de onda cualquiera, midiendo f SALTA el estado a una autofunción de f, obteniendo fn. Esto es, la función de onda "salta" a una autofunción de f luego de la medida:
Este salto tiene probabilidad dada por el cuadrado de la amplitud an correspondiente al desarrollo de la función de onda genérica.
Y luego, al medir g, obtenemos el autovalor gn. La probabilidad de obtener fn y luego gn, es la misma de obtener gn y luego fn (la probabilidad de obtener fn y gn depende de las amplitudes an). Por eso mismo, se dice que f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. El medir primero f, afecta al estado, lo pasa a ser representado por una autofunción, y por eso queda luego determinado el valor de medir g. PERO ESO NO LO VEMOS, si repetimos la medida partiendo siempre del mismo estado, vamos a obtener la misma distribución midiendo primero f y luego g, que midiendo g y luego f. Si en el estado inicial, hay una probabilidad un tercio de obtener f1, y una probabilidad dos tercios de obtener f2, esa probabilidad no se ve afectada si primero medimos f y luego g, o viceversa.
Eso no es tan fácil de ver: es parte de los postulados de la física cuántica. Los valores a obtener en f y g son autovalores, y su distribución no se ve afectada por el orden de la medida SI LOS OPERADORES F y G TIENEN LAS MISMAS AUTOFUNCIONES.
En cada estado físico, hay un conjunto de magnitudes que pueden medirse simultáneamente. Y cuando un estado inicial es autofunción de una de esas magnitudes, es también autofunción de las demás. Veremos que hay casos de magnitudes QUE NO SE pueden medir simultáneamente.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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10 de Octubre, 2015, 19:06
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Para todo espacio vectorial V existe otro espacio vectorial, el llamado espacio dual. Es el espacio cuyos elementos son las funcionales lineales sobre V. Una funcional lineal F asigna un escalar a cada vector:
De tal manera que se cumple:
Para cualquier par de vectores y par de escalares. Estas funcionales forman un espacio vectorial, si definimos la suma de dos funcionales como:
Vamos a ver que Dirac usó este espacio dual. Por un lado tenía un espacio vectorial de partida, y luego, operaba también sobre el dual. Para poder aplicar sus ideas, Dirac postuló que a cada vector original le correspondía un vector dual. Pero no lo demostró, tuvo que postularlo. Pero es demostrable mediante el teorema de Riesz, que dice:
Hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales F en V" y los vectores f en V, de tal forma que los funcionales tienen la forma:
Donde el par entre paréntesis es nuestro producto vectorial. Es decir, cada F funcional es en realidad un producto vectorial por un vector f. A cada F funcional le corresponde un f vector y viceversa. La demostración del teorema se complica en el caso de espacios vectoriales de dimensiones infinitas, debido a detalles de convergencia. Veamos una demostración para el caso de espacios de dimensión finita.
Según la última fórmula presentada, es evidente que a cada f vector le corresponde un funcional F así definido. Entonces, sólo tenemos que demostrar que a cada funcional F le corresponde un vector f. Vamos a construir dicho vector. Sea:
Un sistema ortonormal base del espacio V. Entonces, un vector arbitrario se puede expresar como:
Aplicando el funcional F, y sabiendo sus propiedades lineales, queda:
Construyamos el vector f como:
Recordemos que F aplicado a vector da un escalar. En la fórmula de arriba a ese escalar lo conjugamos complejo. Tenemos entonces definido el vector f. Multipliquemos ese vector por otro vector, queda:
Como se quería demostrar.
Adelantemos que en la notación de Dirac, los vectores de V se llaman vectores ket, y se escriben:
Mientras que los vectores duales se llaman vectores bra, con notación:
El valor del funcional se escribe:
Con el teorema de Riesz tenemos una correspondencia uno a uno entre vectores bra y kets. Si a cada funcional F le corresponde un vector f:
Podemos ver que la notación de Dirac es igual al producto vectorial:
Generalmente no se una una letra griega para el vector, y una letra latina para el vector dual, sino que se usan letras griegas para ambos, quedando la notación:
Recordando que el producto de vectores es antilineal (ver post anterior), queda que si bien hay correspondencia entre bras y kets:
Son diferentes:
Y siempre hay que tener presente esta diferencia. Cuesta un poco al principio, pero nos acostumbramos.
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Angel "Java" Lopez
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4 de Octubre, 2015, 18:25
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Veamos como Dirac describe su gran descubrimiento:
There was some modifications needed in the Klein-Gordon equation. I puzzled over it for a time and eventually I was able to think of another equation which would get over the logical difficulties of the negative probabilities. I soon saw that this new equation gave correctly the spin and the magnetic moment of the electron. That was very satisfactory.
Vean que daba cuenta de dos fenómenos que se estaban explorando: el spin y el momento magnético (yo tiendo a olvidar que eran DOS fenómenos que podía explicar, no solamente el spin).
The question then arose, would it satisfactorily explain the spectrum of hydrogen?...
Creo recordar que no fue en el artículo original donde desarrolló este resultado, fue mas bien espoleado por la pregunta de un físico.
...I worked that out, taking account only the first order of accuracy for the relativistic corrections, and I got agreement with experiment to this first order. The natural thing to do then would be to examine the higher orders and see whether they would also agreement with experiment. But I did not do it, simply because I was scared. I was afraid that maybe they would not come out right. Perhaps the whole basis of the idea would have to be abandoned if it should turn out that it was not right to the higher orders and I just could not face that prospect...
Curiosa actitud de Dirac, que otras veces se mostró más confiado en la fuerza de sus ideas.
.... So I hastly wrote up a paper giving the first order of approximation and showing that to that accuracy, at any rate, we had agreement between the theory and observation. In that way I was consolidating a limited amount of success, that would be something which one could stand on independently of what the future would hold. One very much fears the need for some consolidated success under circumstances like that, and I was in a great hurry to get this first approximation published before anything could happen which might just knock the would thing on the head.
Fue un nieto de Charles Darwin, Charles Galton Darwin, quien daría ese paso.
It was left to Darwin to fill up the gap that I left. Darwin, you see, was able to approach the subject without having any fears. He made the necessary calculations to all orders of accuracy and found that they fit, and I was very relieved to hear about it.
Ver algo de la ecuación de Dirac en:
http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm
donde aparece mencionado un término denominado "de Darwin". Ver también:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fine_structure
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
3 de Octubre, 2015, 19:14
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Tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, y revisar las del mes de septiembre.
- Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el ortocentro [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mi serie sobre las series de Fourier [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Además, estuve publicando:
- La Hipótesis de Riemann (6) ver post
- Particiones (3) ver post
- El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (8) ver post
- El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (7) ver post
- El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (6) ver post
Para este mes, me planteo:
- Continuar mi serie sobre el ortocentro
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos
- Continuar mi serie sobre las series de Fourier
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre el desarrollo de la teoría cuántica según Dirac
- Continuar mi serie sobre particiones de números
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
2 de Octubre, 2015, 6:36
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Publicado el
1 de Octubre, 2015, 7:20
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Hace un tiempo que no comparto los temas que el Café Filosófico de Buenos Aires plantea cada semana. Para más información (reuniones, horarios, lugar, costo) ver:
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm
Acá el temario recibido:
Durante la primera hora de exposición teórica desarrollaremos los siguientes subtemas. El método en tres etapas ideado por Philippe Breton para hacer una buena crítica, un procedimiento que entronca con la tradición humanista de respeto por la dignidad humana, y que está dirigido a cualquiera que deba hacer frente a situaciones problemáticas y desee comprenderlas, a quienes saben que en el futuro se encontrarán con circunstancias de este tipo y desean estar preparados, y a quienes en la encrucijada entre la violencia y la evitación prefieren una tercera vía: la argumentación, la herramienta democrática por excelencia, un recurso que prueba que una sociedad más afable es posible. La vida cotidiana nos enfrenta permanentemente con situaciones difíciles: discusiones con personas que tienen un punto de vista radicalmente distinto al nuestro –entre tantas posibles, la de un adolescente que se rebela contra sus padres-, disputas familiares, encuentros con partidarios de tesis opuestas a las nuestras, la necesidad de tomar la palabra ante un público hostil, manipulaciones comerciales o publicitarias, desinformación, acoso moral o, incluso, agresión física. De la mano del análisis de hechos concretos, propondremos una reflexión y un método original para realizar críticas y afrontar mejor las situaciones difíciles de toda índole. Se trata de un método concreto y práctico, que entronca con la certeza de que otra sociedad es posible, y también de que cada uno de nosotros tiene un papel para desempeñar en ella. El paso de la objetivación (explicado en forma totalmente comprensible). Las situaciones difíciles como circunstancias de violencia no deseada. Las tres únicas opciones que plantea una situación difícil. Por qué la empatía es necesaria pero insuficiente para enfrentar una situación difícil. Recursos argumentativos para enfrentar a un agresor físico en potencia. Los ejemplos del estoico Epicteto: te roban el vino, llamas a alguien y no acude con prontitud, prefieren a otro antes que a vos para una cena o para pedir consejo, hablan mal de vos, te engañan. ¿Cómo enfrentar estas situaciones? ¿Cómo enfrentar a un vecino cuando hace ruidos molestos? Los episodios de conflicto en todo el mundo remiten a la continuidad de la violencia en el debate político y social, a la presencia de declaraciones extremistas, xenófobas y racistas. ¿Cómo criticar estas declaraciones sin caer en la violencia que se condena?
Ante estas situaciones, ¿es deseable irse o esperar y tomar la palabra? La experiencia de Philippe Breton con sus talleres de argumentación dirigidos a la posibilidad de entablar un diálogo con los partidarios de la extrema derecha francesa. Los inconvenientes de optar por la venganza. Marshall Rosenberg y su iniciación a la
comunicación no violenta. ¿Qué es la argumentación inversa? Un ejemplo de su aplicación en la división del trabajo doméstico. El miedo a tomar la palabra en público, particularmente ante un público difícil. Un ejemplo en el ámbito educativo. La estrategia utilizada por Oskar Schindler ante el jefe nazi Amon Goethe. Cómo tranformar el poder del agresor en fuerza propia.
La diferencia entre opinar y argumentar. Las condiciones mínimas para que una argumentación sea posible. En qué casos un diálogo está probablemente destinado al fracaso. De qué manera el dogmático vuelve sus tesis inmunes a las refutaciones empíricas. Un modelo del que aprender para enfrentar al dogmatismo: las estrategias de Voltaire contra los fanáticos. Cómo evitar defenderse cayendo en el juego de argumentación del dogmático. Por qué buena parte de las críticas que surgen en las relaciones con nuestros seres queridos y en el ámbito de la política son indistinguibles del ataque personal y qué hacer para evitarlo. Estrategias para formular buenas críticas.
Philippe Breton. Marshall Rosenberg. Séneca. Karl Rogers. Epicteto.
Marco Aurelio. Norbert Elías.
(Más abajo incluimos un par de fragmentos sobre el tema propuesto)
No es que no consigamos hacer las cosas porque sean difíciles; son difíciles porque no conseguimos hacerlas. (Séneca)
Actualmente la mayoría de las agresiones a las que corremos el riesgo de enfrentarnos no son físicas sino verbales. Aspiran a alcanzar al otro en su identidad antes que destruirlo físicamente, y utilizan para este fin palabras que operan como vectores de violencia. Es mejor tropezar con los pies y caer, que no con la boca. (Zenon)
Temas interesantes, sobre situaciones que pueden aparecer todos los días. Lo paso por acá para tener a mano los temas y autores menciones, y poder estudiar algo más de estas situaciones.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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