Publicado el 31 de Octubre, 2015, 15:07
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Dirac explica que lo que permite entonces calcular la teoría, no son resultados determinados, sino probabilidad de resultados:
Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Comentarios (115)Publicado el 27 de Octubre, 2015, 6:42
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En este año, ha entrado fuerte en mi radar el tema FinTech: negocios de servicios financieros basados en tecnología. Han aparecido muchas "startups" que tratan de cambiar el mercado con aplicaciones de software y nuevos modelos de negocios. También aparece en muchas de estas ideas y ejecuciones, los temas de "big data", y "machine learning", para automatizar parte del proceso. Hoy presento mi primer lista de recursos que estuve visitando. En otro momento escribiré sobre el tema. The fintech revolution | The Economist Homepage | FinTech Sandbox 15 Fintech Startups To Watch In 2015 - Forbes 'Welcome to the new sharewise' Financial software design is being transformed by fintech m.cronista.com/Mobile/nota.html?URI=/contenidos/2015/06/30/noticia_0001.html Una app financiera y un Starbucks, el plan del Banco Industrial para crecer BBVA Press Room - Francisco González "The future of banking is decided in places like this one" Myth: Eric Brewer on Why Banks are BASE Not ACID - Availability Is Revenue thelendingmag.com Bill Gates: Can Mobile Banking Revolutionize The Lives Of The Poor? | FinTech Ranking Why London's Fintech Startup Scene Is Growing Fast | American Banker Adelantos Personales Online | Moni Innotribe Banks' Real Fight with Fintech: Who Owns the Customer? | American Banker So You Want To Build A Full Stack Startup In Fintech? | TechCrunch Next Bank Technisys - Home Fintech 2.0 Is Just Around The Corner: Santander UCL Discovery - Machine learning for financial market prediction Alipay Is Starting to Look Like the Future of Chinese Banking | MIT Technology Review Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Octubre, 2015, 6:40
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Llegamos a la característica física principal del modelo de superposición de estados. Por más que tengamos superposición de estados, ésta no se expresa directamente, sino a través de resultados que dependen de la probabilidad. Leamos a Dirac:
Es decir, se obtienen resultados "puros", no mezclas de los estados originales. La superposición de estados se expresa mediante la probabilidad de los resultados "puros", más que por un resultado intermedio, como podría ser el promedio entre resultado a y resultado b. Una moneda cuántica, en superposición de estados cara/ceca, cuando interviene en una observación, resulta en cara o resulta en ceca, pero nunca en una mezcla de resultados. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 25 de Octubre, 2015, 7:42
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Dirac se encuentra con el problema de la energía negativa en su teoría del electrón relativista. Veamos hoy cómo encuentra una solución, y un nuevo problema:
En química, esto sucede porque los electrones son fermiones y obedecen el principio de exclusión de Pauli. Dirac tuvo suerte en encontrar esta solución trabajando sobre un fermión como el electrón. No hubiera encontrado la misma solución en caso de trabajar con un bosón, inicialmente, que no forman "closed shells".
Es muy original la idea de los agujeros, digna de la imaginación de Dirac. Y veamos también cómo él se inclina por considerar que electrones y agujeros son "lo mismo", son simétricos en cualidades. Estuvo a punto de predecir la existencia de una partícula nueva, que hoy llamamos positrón. Pero no fue ese el paso que dió. Se vió influido por lo que se conocía entonces: sólo había protones como partículas de carga positiva.
Vemos que tampoco los neutrones había pasado de ser un modelo teórico hasta entonces.
El explicar la diferencia de masa es, digamos, el problema equivocado, vamos a verlo en el próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Octubre, 2015, 15:43
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Vayamos hoy por la demostración de que las alturas de un triángulo se intersectan en un solo punto, el llamado ortocentro. Por el post anterior, sabemos que las medianas de un triángulo se cortan en un único punto. Veamos de aprovechar esa demostración. Partimos de un triángulo ABC:
Por cada vértice, trazamos una recta paralela al lado opuesto:
Se forma un triángulo A'B'C'. Podemos ver que CBC'A es un paralelogramo, con lo que queda que el segmento CB es igual al segmente AC'. Por lo mismo, CBAB' es un paralelogramo, y el segmento CB es igual al segmento B'A. Queda entonces que B'A es igual en longitud a AC', con lo que queda demostrado que A es el punto medio del lado B'C'. Por lo mismo, podemos deducir que los vértices del triángulo original son los puntos medios de los lados del nuevo triángulo. Tracemos las medianas del triángulo A'B'C':
Por el post anterior sabemos que se cortan en un punto. Pero por construcción, la mediana del lado B'C' es perpendicular a ese lado Y ENTONCES ES PERPENDICULAR al lado CB que es paralelo al B'C'. ENTONCES es una altura del triángulo original. Repitiendo la deducción, queda que CADA MEDIANA del triángulo "grande" es ALTURA del triángulo original. Las medianas del triángulo nuevo se cortan en un punto, entonces, las alturas del triángulo original, también se cortan en un punto. Que es lo que queríamos demostrar. Al principio, para demostrar este teorema del ortocentro, yo había intentando caminos más complicados, apelando a sumas vectoriales y trigonometría. Pero relajándome un poco, y demostrando el teorema de las medianas, surgió en algún momento esta demostración, más sencilla de las que había intentado. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Octubre, 2015, 8:01
Publicado el 19 de Octubre, 2015, 6:19
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Veamos hoy una dificultad que encontró Dirac al plantear la teoría relativista en cuántica:
Dirac explica que no es infrecuente esta situación en el avance de la ciencia:
Pero esta vez, la dificultad no era nueva, solo que antes, en teorías no cuánticas, no tenía relevancia:
En el siguiente post veremos cómo Dirac logra sortear esta dificultad, de una forma muy original. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Octubre, 2015, 10:50
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Hace tiempo que no escribo sobre David Hume. Esta semana, me he reencontrado con este filósofo escocés, que me parece sumamente interesante para leer y estudiar. Eso es debido a que el libro de esta semana de la serie filósifis que publicó el diario argentino La Nación (y la semana anterior, publicó sobre Spinoza, otro de los filósofos que me parece hay que estudiar, para entrar en algunos temas). En este libro sobre Hume, escrito por Gerardo López Sastre, me encuentro con el texto de una carta de Hume a su amigo William Mure of Caldwell, donde se muestra su humor y su manejo de la escritura. Leo:
Es muy gracioso (casi me recuerda a algunas cartas más contemporáneas como alguna de Groucho Marx), Es refrescante leer a Hume, no solo en una carta de este talante, sino en sus escritos filosóficos, donde se esfuerza por perseguir la claridad y exponer los pasos de su pensamiento. Ver también: Estudiando a Hume Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Octubre, 2015, 17:22
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Veamos esta vez de calcular:
Sabemos desde el post anterior que:
Entonces queda
De cálculo sabemos que al integrar coseno tenemos seno, y queda
Pero el seno de cualquier múltiplo entero de pi es cero, así que la expresión de arriba se anula. Lo mismo pasa si queremos calcular:
Sabiendo que
Al integrar obtenemos de nuevo una expresión de senos que se anulan. Todo esto tiene un interés: el integrar entre menos pi y más pi ciertas multiplicaciones de funciones trigonométricas, encontramos que los resultados se anulan. Esto no era evidente, y nos va a servir para poder expresar una función como suma (posiblemente infinita) de esas funciones trigonométricas. Este es el gran avance de Fourier. Lo anterior, el calcular que ciertas integrales se anulan, ha sido largo y laborioso, pero dará sus frutos en los próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Octubre, 2015, 6:50
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Veamos una explicación de Dirac a un aparente error en una fórmula, en su primer trabajo sobre la ecuación relativista que lleva su nombre:
Resulta que no era un error de imprenta. sino parte de lo que se habituaba en aquel entonces. Dirac explica:
Fue a consecuencia de la confirmación de la teoría general al observar un eclipse, observación hecha por británicos para confirma la teoría de un alemán, luego de la primera guerra. Por alguna causa, esa noticia causó sensación en la prensa, y de alguna manera llegó a conocimiento de un Dirac aún estudiante. Fue su comienzo en el tema relatividad: desde entonces siempre trató de encontrar expresiones compatibles con las simetrías que muestra esa teoría.
Minkowsky debe haber sido el primero en proponer el uso de la raíz de menos 1 para mantener una simetría mejor. Recientemente, en el Goldstein de Mecánica Clásica, encuentro que este autor defiende el uso de los signos menos explícitos, antes de llegar al uso de i (la raíz imaginaria de menos 1). Este es un ejemplo pequeño, pero también habla de lo difícil que puede ser interpretar los "papers" clásicos, donde las notaciones no son las modernas o habituales en estos días. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Octubre, 2015, 18:12
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Ya vimos que la luz abarca varios fenómenos, no siempre visibles, y que está compuesta de partículas, que llamamos fotones. Sabemos algunas cosas más: la luz avanza en un medio uniforme en línea recta; se "dobla" al cambiar de medio, por ejemplo al pasar de aire a agua; se refleja en un espejo. Pero veamos que tiene una conducta extraña, sin explicación evidente. Sabemos que al llegar a algunas superficies, la luz es parcialmente reflejada, por ejemplo, en una superficie de agua. Parte de la luz la atraviesa, pero también pasa que parte de la luz es reflejada, lo que le da ese aspecto particular a la superficies de los lagos, que parecen reflejar el paisaje y el cielo. Pero cuando nos acercamos, hasta podemos ver a través del agua, si ésta es límpida. El vidrio es otro ejemplo de superficie que refleja parcialmente la luz. Hagamos una suposición temporaria. Cuando hablemos de la luz reflejada en el vidrio, supondremos que esa luz se refleja en LA SUPERFICIE del vidrio, es decir, no hay luz que se refleje LUEGO de atravesar un milímetro o dos milímetros del vidrio. Supondremos que la reflexión ocurre sólo en la superficie. Luego abandonaremos esta suposición por algo más realista, pero por ahora nos basta para ir aproximándonos al problema. Cuando un fotón llega al vidrio, interacciona con los electrones de los átomos A TRAVES del vidrio, no SOLO con los de la superficie. El fotón y los electrones "danzan" de una forma peculiar, que hace que algunos fotones se "reflejen", como si se reflejaran sólo en la superficie. Supongamos que tenemos una fuente de luz L, un vidrio, y dos fotomultiplicadores A y B, este último DENTRO del vidrio (dejemos de lado por ahora la dificultad de poner un detector así DENTRO de nuestro vidrio experimental):
Por cada 100 fotones que parten de la fuenta, hay 96 que llegan al detector B, y 4 que se reflejan en la superficie llegando entonces a detector A. El problema entonces es explicar: ¿por qué esos 4 fotones se reflejaron? ¿tienen algo especial que los hizo reflejar, algo distinto de los demás 96 fotones que pasaron de largo? ¿cómo "sabe" un fotón dado si reflejarse o no reflejarse? Bueno, buscar una explicación a esto también fue un problema para Newton. Hay varias teorías para explicar este fenómeno. Una es pensar que la superficie está compuesta un 96% de "agujeros" que dejan pasar la luz, y un 4% de impurezas, manchas que la reflejan:
Veremos en el próximo post por qué Newton rechazó esta explicación, y luego, veremos más características de este fenómeno que no se explican por agujeros y manchas ni por otros modelos explicativos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 11 de Octubre, 2015, 18:19
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Veamos el caso de dos operadores que conmutan. Sabemos que en física cuántica, los operadores representan magnitudes físicas. Se dice que un operador tiene espectro discreto si los posibles valores de su magnitud representada no son continuos. Ha sido un gran descubrimiento en física cuántica que haya sistemas que tienen magnitudes discretas, como la energía de un electrón ligado en un átomo (lo que explica las características discretas del espectro atómico). Por ahora estamos tratando operados y magnitudes discretas. Los estados físicos los representamos con funciones de onda, y dado un operador con espectro discreto, existen funciones de onda tales que:
Que se llaman autofunciones del operador f. Los coeficientes fn son llamados los autovalores. Ahora bien, cuando medimos la magnitud f, de un estado cualquiera, expresado en autofunciones de f:
El valor obtenido es UNO de los autovalores fn, con una probabilidad proporcional a:
Si el estado original es el representado por la autofunción:
El valor obtenido en "la medida" de f será siempre el autovalor:
Decimos "la medida" porque esto no implica experimento u observador consciente que mide esa magnitud. El mismo resultado aparece en el núcleo de las estrellas, donde no hay observador consciente. Es algo peculiar de la naturaleza: no podemos predecir el resultado fn, sino solamente su probabilidad. Cuando el estado inicial es el representado por una autofunción del operador f, el resultado esperado es fn con una probabilidad de 1. Pero si resulta que esa función de onda es TAMBIEN autofunción de otro operador g, que representa otra magnitud física, se da:
Luego de medir f en una autofunción de f, el estado SIGUE representado por la misma función de onda. Podemos decir que la función de onda queda "trasfornada" por la medida de f, pero en el caso de las autofunciones de f, se "trastornan" a su mismo valor, no cambian:
Si entonces medimos g, obtenemos gn:
Lo mismo pasa si primero medimos g y luego f. La función de onda no cambia, no "se trastorna", no "salta". Y los valores obtenidos son los autovalores gn y fn. Esto de "no salto" en "la medida" es una cualidad de las autofunciones de un operador. Se dice entonces que las magnitudes f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. No es un tema que esté muy claramente explicado, y la explicación de arriba es sólo una aproximación. Si en cambio, partimos de una función de onda cualquiera, midiendo f SALTA el estado a una autofunción de f, obteniendo fn. Esto es, la función de onda "salta" a una autofunción de f luego de la medida:
Este salto tiene probabilidad dada por el cuadrado de la amplitud an correspondiente al desarrollo de la función de onda genérica. Y luego, al medir g, obtenemos el autovalor gn. La probabilidad de obtener fn y luego gn, es la misma de obtener gn y luego fn (la probabilidad de obtener fn y gn depende de las amplitudes an). Por eso mismo, se dice que f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. El medir primero f, afecta al estado, lo pasa a ser representado por una autofunción, y por eso queda luego determinado el valor de medir g. PERO ESO NO LO VEMOS, si repetimos la medida partiendo siempre del mismo estado, vamos a obtener la misma distribución midiendo primero f y luego g, que midiendo g y luego f. Si en el estado inicial, hay una probabilidad un tercio de obtener f1, y una probabilidad dos tercios de obtener f2, esa probabilidad no se ve afectada si primero medimos f y luego g, o viceversa. Eso no es tan fácil de ver: es parte de los postulados de la física cuántica. Los valores a obtener en f y g son autovalores, y su distribución no se ve afectada por el orden de la medida SI LOS OPERADORES F y G TIENEN LAS MISMAS AUTOFUNCIONES. En cada estado físico, hay un conjunto de magnitudes que pueden medirse simultáneamente. Y cuando un estado inicial es autofunción de una de esas magnitudes, es también autofunción de las demás. Veremos que hay casos de magnitudes QUE NO SE pueden medir simultáneamente. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Octubre, 2015, 19:06
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Para todo espacio vectorial V existe otro espacio vectorial, el llamado espacio dual. Es el espacio cuyos elementos son las funcionales lineales sobre V. Una funcional lineal F asigna un escalar a cada vector:
De tal manera que se cumple:
Para cualquier par de vectores y par de escalares. Estas funcionales forman un espacio vectorial, si definimos la suma de dos funcionales como:
Vamos a ver que Dirac usó este espacio dual. Por un lado tenía un espacio vectorial de partida, y luego, operaba también sobre el dual. Para poder aplicar sus ideas, Dirac postuló que a cada vector original le correspondía un vector dual. Pero no lo demostró, tuvo que postularlo. Pero es demostrable mediante el teorema de Riesz, que dice: Hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales F en V" y los vectores f en V, de tal forma que los funcionales tienen la forma:
Donde el par entre paréntesis es nuestro producto vectorial. Es decir, cada F funcional es en realidad un producto vectorial por un vector f. A cada F funcional le corresponde un f vector y viceversa. La demostración del teorema se complica en el caso de espacios vectoriales de dimensiones infinitas, debido a detalles de convergencia. Veamos una demostración para el caso de espacios de dimensión finita. Según la última fórmula presentada, es evidente que a cada f vector le corresponde un funcional F así definido. Entonces, sólo tenemos que demostrar que a cada funcional F le corresponde un vector f. Vamos a construir dicho vector. Sea:
Un sistema ortonormal base del espacio V. Entonces, un vector arbitrario se puede expresar como:
Aplicando el funcional F, y sabiendo sus propiedades lineales, queda:
Construyamos el vector f como:
Recordemos que F aplicado a vector da un escalar. En la fórmula de arriba a ese escalar lo conjugamos complejo. Tenemos entonces definido el vector f. Multipliquemos ese vector por otro vector, queda:
Como se quería demostrar. Adelantemos que en la notación de Dirac, los vectores de V se llaman vectores ket, y se escriben:
Mientras que los vectores duales se llaman vectores bra, con notación:
El valor del funcional se escribe:
Con el teorema de Riesz tenemos una correspondencia uno a uno entre vectores bra y kets. Si a cada funcional F le corresponde un vector f:
Podemos ver que la notación de Dirac es igual al producto vectorial:
Generalmente no se una una letra griega para el vector, y una letra latina para el vector dual, sino que se usan letras griegas para ambos, quedando la notación:
Recordando que el producto de vectores es antilineal (ver post anterior), queda que si bien hay correspondencia entre bras y kets:
Son diferentes:
Y siempre hay que tener presente esta diferencia. Cuesta un poco al principio, pero nos acostumbramos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 4 de Octubre, 2015, 18:25
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Veamos como Dirac describe su gran descubrimiento:
Vean que daba cuenta de dos fenómenos que se estaban explorando: el spin y el momento magnético (yo tiendo a olvidar que eran DOS fenómenos que podía explicar, no solamente el spin).
Creo recordar que no fue en el artículo original donde desarrolló este resultado, fue mas bien espoleado por la pregunta de un físico.
Curiosa actitud de Dirac, que otras veces se mostró más confiado en la fuerza de sus ideas.
Fue un nieto de Charles Darwin, Charles Galton Darwin, quien daría ese paso.
Ver algo de la ecuación de Dirac en: http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm donde aparece mencionado un término denominado "de Darwin". Ver también: https://en.wikipedia.org/wiki/Fine_structure Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 3 de Octubre, 2015, 19:14
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Tiempo de escribir las resoluciones del nuevo mes, y revisar las del mes de septiembre. - Continuar mi serie sobre electrodinámica cuántica [pendiente] Además, estuve publicando: - La Hipótesis de Riemann (6) ver post Para este mes, me planteo: - Continuar mi serie sobre el ortocentro Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Octubre, 2015, 6:36
Publicado el 1 de Octubre, 2015, 7:20
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Hace un tiempo que no comparto los temas que el Café Filosófico de Buenos Aires plantea cada semana. Para más información (reuniones, horarios, lugar, costo) ver: http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm Acá el temario recibido:
Temas interesantes, sobre situaciones que pueden aparecer todos los días. Lo paso por acá para tener a mano los temas y autores menciones, y poder estudiar algo más de estas situaciones. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |