Angel "Java" Lopez en Blog

Teoría de la Transformación de Dirac, un desarrollo moderno (5)

Publicado el 10 de Octubre, 2015, 19:06

Para todo espacio vectorial V existe otro espacio vectorial, el llamado espacio dual. Es el espacio cuyos elementos son las funcionales lineales sobre V. Una funcional lineal F asigna un escalar a cada vector:

De tal manera que se cumple:

Para cualquier par de vectores y par de escalares. Estas funcionales forman un espacio vectorial, si definimos la suma de dos funcionales como:

Vamos a ver que Dirac usó este espacio dual. Por un lado tenía un espacio vectorial de partida, y luego, operaba también sobre el dual. Para poder aplicar sus ideas, Dirac postuló que a cada vector original le correspondía un vector dual. Pero no lo demostró, tuvo que postularlo. Pero es demostrable mediante el teorema de Riesz, que dice:

Hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales F en V" y los vectores f en V, de tal forma que los funcionales tienen la forma:

Donde el par entre paréntesis es nuestro producto vectorial. Es decir, cada F funcional es en realidad un producto vectorial por un vector f. A cada F funcional le corresponde un f vector y viceversa. La demostración del teorema se complica en el caso de espacios vectoriales de dimensiones infinitas, debido a detalles de convergencia. Veamos una demostración para el caso de espacios de dimensión finita.

Según la última fórmula presentada, es evidente que a cada f vector le corresponde un funcional F así definido. Entonces, sólo tenemos que demostrar que a cada funcional F le corresponde un vector f. Vamos a construir dicho vector. Sea:

Un sistema ortonormal base del espacio V. Entonces, un vector arbitrario se puede expresar como:

Aplicando el funcional F, y sabiendo sus propiedades lineales, queda:

Construyamos el vector f como:

Recordemos que F aplicado a vector da un escalar. En la fórmula de arriba a ese escalar lo conjugamos complejo. Tenemos entonces definido el vector f. Multipliquemos ese vector por otro vector, queda:

Como se quería demostrar.

Adelantemos que en la notación de Dirac, los vectores de V se llaman vectores ket, y se escriben:

Mientras que los vectores duales se llaman vectores bra, con notación:

El valor del funcional se escribe:

Con el teorema de Riesz tenemos una correspondencia uno a uno entre vectores bra y kets. Si a cada funcional F le corresponde un vector f:

Podemos ver que la notación de Dirac es igual al producto vectorial:

Generalmente no se una una letra griega para el vector, y una letra latina para el vector dual, sino que se usan letras griegas para ambos, quedando la notación: