Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 11 de Octubre, 2015, 18:19

Anterior Post
Siguiente Post

Veamos el caso de dos operadores que conmutan. Sabemos que en física cuántica, los operadores representan magnitudes físicas. Se dice que un operador tiene espectro discreto si los posibles valores de su magnitud representada no son continuos. Ha sido un gran descubrimiento en física cuántica que haya sistemas que tienen magnitudes discretas, como la energía de un electrón ligado en un átomo (lo que explica las características discretas del espectro atómico). Por ahora estamos tratando operados y magnitudes discretas.

Los estados físicos los representamos con funciones de onda, y dado un operador con espectro discreto, existen funciones de onda tales que:

Que se llaman autofunciones del operador f. Los coeficientes fn son llamados los autovalores. Ahora bien, cuando medimos la magnitud f, de un estado cualquiera, expresado en autofunciones de f:

El valor obtenido es UNO de los autovalores fn, con una probabilidad proporcional a:

Si el estado original es el representado por la autofunción:

El valor obtenido en "la medida" de f será siempre el autovalor:

Decimos "la medida" porque esto no implica experimento u observador consciente que mide esa magnitud. El mismo resultado aparece en el núcleo de las estrellas, donde no hay observador consciente. Es algo peculiar de la naturaleza: no podemos predecir el resultado fn, sino solamente su probabilidad. Cuando el estado inicial es el representado por una autofunción del operador f, el resultado esperado es fn con una probabilidad de 1.

Pero si resulta que esa función de onda es TAMBIEN autofunción de otro operador g, que representa otra magnitud física, se da:

Luego de medir f en una autofunción de f, el estado SIGUE representado por la misma función de onda. Podemos decir que la función de onda queda "trasfornada" por la medida de f, pero en el caso de las autofunciones de f, se "trastornan" a su mismo valor, no cambian:

Si entonces medimos g, obtenemos gn:

Lo mismo pasa si primero medimos g y luego f. La función de onda no cambia, no "se trastorna", no "salta". Y los valores obtenidos son los autovalores gn y fn. Esto de "no salto" en "la medida" es una cualidad de las autofunciones de un operador.

Se dice entonces que las magnitudes f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. No es un tema que esté muy claramente explicado, y la explicación de arriba es sólo una aproximación. Si en cambio, partimos de una función de onda cualquiera, midiendo f SALTA el estado a una autofunción de f, obteniendo fn. Esto es, la función de onda "salta" a una autofunción de f luego de la medida:

Este salto tiene probabilidad dada por el cuadrado de la amplitud an correspondiente al desarrollo de la función de onda genérica.

Y luego, al medir g, obtenemos el autovalor gn. La probabilidad de obtener fn y luego gn, es la misma de obtener gn y luego fn (la probabilidad de obtener fn y gn depende de las amplitudes an). Por eso mismo, se dice que f y g SE PUEDEN MEDIR SIMULTANEAMENTE. El medir primero f, afecta al estado, lo pasa a ser representado por una autofunción, y por eso queda luego determinado el valor de medir g. PERO ESO NO LO VEMOS, si repetimos la medida partiendo siempre del mismo estado, vamos a obtener la misma distribución midiendo primero f y luego g, que midiendo g y luego f. Si en el estado inicial, hay una probabilidad un tercio de obtener f1, y una probabilidad dos tercios de obtener f2, esa probabilidad no se ve afectada si primero medimos f y luego g, o viceversa.

Eso no es tan fácil de ver: es parte de los postulados de la física cuántica. Los valores a obtener en f y g son autovalores, y su distribución no se ve afectada por el orden de la medida SI LOS OPERADORES F y G TIENEN LAS MISMAS AUTOFUNCIONES.

En cada estado físico, hay un conjunto de magnitudes que pueden medirse simultáneamente. Y cuando un estado inicial es autofunción de una de esas magnitudes, es también autofunción de las demás. Veremos que hay casos de magnitudes QUE NO SE pueden medir simultáneamente.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia