Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 24 de Octubre, 2015, 15:43

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Vayamos hoy por la demostración de que las alturas de un triángulo se intersectan en un solo punto, el llamado ortocentro. Por el post anterior, sabemos que las medianas de un triángulo se cortan en un único punto. Veamos de aprovechar esa demostración.

Partimos de un triángulo ABC:

Por cada vértice, trazamos una recta paralela al lado opuesto:

Se forma un triángulo A'B'C'. Podemos ver que CBC'A es un paralelogramo, con lo que queda que el segmento CB es igual al segmente AC'. Por lo mismo, CBAB' es un paralelogramo, y el segmento CB es igual al segmento B'A. Queda entonces que B'A es igual en longitud a AC', con lo que queda demostrado que A es el punto medio del lado B'C'. Por lo mismo, podemos deducir que los vértices del triángulo original son los puntos medios de los lados del nuevo triángulo.

Tracemos las medianas del triángulo A'B'C':

Por el post anterior sabemos que se cortan en un punto. Pero por construcción, la mediana del lado B'C' es perpendicular a ese lado Y ENTONCES ES PERPENDICULAR al lado CB que es paralelo al B'C'. ENTONCES es una altura del triángulo original. Repitiendo la deducción, queda que CADA MEDIANA del triángulo "grande" es ALTURA del triángulo original. Las medianas del triángulo nuevo se cortan en un punto, entonces, las alturas del triángulo original, también se cortan en un punto. Que es lo que queríamos demostrar.

Al principio, para demostrar este teorema del ortocentro, yo había intentando caminos más complicados, apelando a sumas vectoriales y trigonometría. Pero relajándome un poco, y demostrando el teorema de las medianas, surgió en algún momento esta demostración, más sencilla de las que había intentado.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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