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Noviembre del 2015
Publicado el
30 de Noviembre, 2015, 15:17
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Veamos de explorar el concepto de simetría física que estamos esbozando.
Sea g un operador que esperamos sea simétrico. ¿Qué significa esto? Bueno, sea un sistema cuántico:
Con observables:
Y algunos estados:
Aplicando g sobre el sistema S obtenemos nuevo sistema:
Donde existen los correspondientes observables:
Y donde existen los correspondientes estados:
Esperamos de un operador simétrico QUE NO PRODUZCA efectos observables. Es decir, que cualesquiera sean los estados originales y el observable A, al menos se obtenga:
Esto es, que las probabilidades de observación se mantengan como antes de la transformación. Estas probabilidades son las que dan sentido físico a la descripción de un sistema. Si las probabilidades se mantienen igual, antes y después de la transformación, entonces los sistemas no son distinguibles por observación.
Hay dos formas de interpretar la transformación de simetría: como pasiva o como activa. La interpretación activa significa cambiar el sistema material S en OTRO sistema material S". En la interpretación pasiva los sistemas materiales son los mismos, sólo cambia su representación de coordenadas. Por ejemplo, en una interpretación activa, llegar a S" significa GIRAR el sistema S original en un ángulo alfa. En una interpretación pasiva, el sistema material es el mismo, lo que GIRA es el sistema coordenado, en un ángulo menos alfa.
Si tomamos la interpretación activa, podemos definir simetría como:
G es un grupo de simetría de S, si para cualquier g perteneciente a G existe otro sistema material S" = gS y también un operador funcional Fg que para cada observable A se obtiene otro observable:
Donde midiendo A" en S" se obtienen las mismas distribuciones de probabilidad que midiendo A en S.
En el próximo post seguiremos comentando esta definición y consecuencias.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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29 de Noviembre, 2015, 16:45
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28 de Noviembre, 2015, 18:38
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Ya conocemos la expresión de la función zeta de Riemann:
Pero solo con n tomando valores naturales. Sabemos también que para n = 1 diverge, es la serie armónica. Pero ¿qué pasa para otros valores de n, por ejemplo, valores reales?
Vimos cómo Euler encontró valores para n par. Aún hoy no hay expresiones que resuelvan directamente el valor de esta función para n impar. Pero se pueden calcular los valores. Por ejemplo, para s=1.5, converge a 2.612375… Para s=1.1 converge a 10.58448…. Cuando s es 1.0001, converge a 10000.577222… Justo diverge para s=1, pero para valores cercanos mayores, la suma converge. Si estudiamos los valores cercanos a 1, vemos que la función zeta se comporta muy cercano a:
Si hacemos s = 0, cada uno de los sumandos de la serie es igual a 1 (el numerador es un número elevado a 0, y sabemos que da 1). Con lo cual, diverge completamente.
Si s es negativo, por ejemplo -1, la serie se transforma en:
Que claramente diverge. Si hacemos s=1/2, entonces:
Pero cada término es mayor que los términos de la serie armónica:
Y como ésta diverge, también diverge zeta(1/2).
Al parecer, parece que la función solo converge para s > 1. ¿Será verdad?
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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27 de Noviembre, 2015, 13:20
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Llegamos al final del relato de Dirac:
My own contributions since these early days have been of minor importance and I do not think I need mention any details except to say that after the establishment of the existence of the positron I was led to think of a new particle, the magnetic monopole. There is some very beautiful mathematics underlying this monopole and it would make people quite happy if it was found that monopoles do exist in nature so that this beautiful mathematics has an application. However, I do not have any fears about this theory if the monopoles are not discovered. If this mathematics is found not to apply to nature it will not really matter because this work is quite isolated and one can abandon it without affecting the main ideas of the quantum theory.
Según Dirac, la existencia de este monopolo implicaría necesariamente la cuantización de la carga eléctrica. No he leído ese "paper" ni conozco su argumento. Ver:
https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole
Dirac llama la atención sobre la diferencia de esos días excitantes de desarrollo de la física con nuevas ideas, y el estado de la ciencia en momentos actuales:
It is when one is challenging the main ideas that one has the great excitement and the great fears that something will go wrong and this sort of excitement has not recurred since those early days. One might call the period from 1925 onward for a few years the Golden Age of Physics when our basic ideas were developing very rapidly and there was plenty of work for everyone to do. The limitation of the ideas that were established in this Golden Age have now become clear and we are all hoping that a new Golden Age will appear, triggered off by some very drastic new idea and leading once again to a period of rapid development with great hopes and fears.
El desarrollo del modelo estándar y la teoría de cuerdas pueden verse como nuevas ideas, pero no alcanzan el nivel de "salto" que dieron la relatividad einsteniana y la cuántica. Pueden verse como una evolución de esas ideas, más que como nuevas bases fundamentales. Tal vez el descubrimiento de la energía y la materia oscura, como enigmas modernos, sea el impulso que hace falta para plantear nuevas ideas en las bases de la física. Otra posible fuente de avance (que impulsa aún a las teorías de cuerdas y aledaños) es la pendiente conciliación entre relatividad y cuántica.
Así terminamos con este recorrido por el discurso de Dirac.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
24 de Noviembre, 2015, 6:17
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22 de Noviembre, 2015, 6:22
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Queremos expresar en una serie a las funciones periódicas, de periodo 2 pi, esto es, que cumplen:
Primer intento, que los términos de la serie sean de la forma:
Donde An nos permite tener una especie de "peso" de cada término de la serie. Donde omega n es la frecuencia (la "forma" en que fluctúa el valor de seno cuando varía t), y phi n es la fase, el desplazamiento inicial desde t = 0. El seno involucra a un ángulo que varía con la variable t. Ahora en un momento veremos de hacer estos términos también periódicos de periodo 2 pi.
Desarrollando la expresión seno como suma de dos ángulos, podemos expresar cada término como:
Esto es interesante. Hay términos que dependen de t y la frecuencia, uno en seno y otro en coseno. Notablemente los otros factores:
Y
Pueden tomarse como coeficientes independientes:
Y
Pues de cualquier valor que les damos a los coeficientes an, bn, podemos deducir el ángulo phi como:
Donde la tangente puede tomar cualquier valor real. De ahí deducimos phi. Y luego de conocer phi, podemos despejar An:
Así que nuestro desarrollo de f(t) tomaría la forma:
Veremos más adelante de donde proviene el factor ½ en a0. Los valores de n son enteros, y entonces, los términos son periódicos en 2 pi. El que ahora nos quedemos en frecuencias enteras ES LO QUE PRODUCE la periodicidad deseada. Ahora bien, tenemos que mostrar que una f(t) cualquiera periódica 2 pi, tiene el desarrollo de arriba. Ese fue el gran descubrimiento de Fourier, aunque en su tiempo no pudo sentarlo rigurosamente y por eso fue atacado. En realidad, el resultado es notable, y no intuitivo: veremos que multitud de funciones de formas extrañas se pueden llevar a series de senos y cosenos. No era un resultado esperado por los matemáticos contemporáneos de Fourier.
Veremos la deducción de los coeficientes an y bn en el próximo post, donde nos aprovecharemos de los resultados de los posts anteriores.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
21 de Noviembre, 2015, 16:20
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Continua Dirac, comenzando el fin de su relato:
Those were the early days in which the basis for quantum mechanics was established. The foundations were laid for a theory, which has been found to be very good theory for explaining all atomic events even when one does not inquire into phenomena involving distances which are too small or energies which are too high. When one proceeds farther along these lines, one steps into new difficulties and one feels that the basic ideas necessary to escape from these difficulties have not yet been obtained.
No lo menciona directamente, pero Dirac parece referirse a los problemas de los infinitos en el desarrollo de la teoría.
The work that has been done since the establishment of these basic ideas has been important work, but not quite the same fundamental standard. People have been working out the consequences of the early ideas and examining how far they will go before the difficulties become serious. The difficulties stem from the fact that the interaction between intermediary particles and fields is really too violent for a satisfactory theory to be set up. One has to adopt all sort of tricks to make the theory go farther. One has to set up theories which are more or less patch work and do not have a fundamental basis.
Supongo que uno de los trucos a los que se refiere es la renormalización, ver
https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization
Sigue Dirac:
The present-day situation is that we still have these fundamental difficulties. It would need someone like a new Heisenberg to find the escape from them. The experimental people are making steady progress quite underterred by theoretical difficulties. They go on accumulating their evidence and challenging the theoretical physicists to produce theories which will fit it. The trouble here is that the experiments are extremely expensive but, in spite of that, experimental work is stimulated by national rivalry and work is going ahead in various centers.
Recordemos que este discurso de aceptación del premio Oppenheimer fue escrito en 1971. En el próximo post alcanzamos el final del texto.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
18 de Noviembre, 2015, 6:02
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Publicado el
17 de Noviembre, 2015, 6:20
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Varios temas interesantes para ver, desde lo que es geometría algebraica, el Nullstellensatz de Hilbert, el grupo de Lie G2, y el fascinante tema de los "bounded gaps primes"
"Ancient Greek Geometry", desafíos y entretenimiento con regla y compás - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/ancient-greek-geometry-desafios-y-entretenimiento-con-regla-y-compas/
What are the differences between fiber bundle and sheaf? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/26542/what-are-the-differences-between-fiber-bundle-and-sheaf
Sheaf (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Algebraic geometry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry
Algebraic variety - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety
Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Nullstellensatz
Googol Song - Numberphile - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=5JOAoiX1LHA
Numberphile - Videos about Numbers and Stuff
http://www.numberphile.com/
Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/quasicrystals_and_the_riemann.html
G2 and the Rolling Ball | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/g2_and_the_rolling_ball.html
Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/philosophy_talks_in_oxford.html
Bounded Gaps Between Primes | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/bounded_gaps_between_primes.html
How Does Applied Math Impact Foundations? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/04/how_does_applied_math_impact_f.html
A Characterization of Relative Entropy (Part 1) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/a_characterization_of_relative.html
Kullback–Leibler divergence - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
Convergencia de sucesión de números complejos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/convergencia-de-sucesion-de-numeros-complejos/
Numeros divisibles. acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/numeros-divisibles-acertijo-matematico/
The HoTT Book | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/the_hott_book.html
The HoTT Book | Homotopy Type Theory
http://homotopytypetheory.org/book/
Homotopy Type Theory: a new foundation for 21st-century mathematics | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/06/homotopy-type-theory-a-new-foundation-for-21st-century-mathematics/
6174 (number) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_constant
Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/mathematics
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Angel "Java" Lopez
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16 de Noviembre, 2015, 6:23
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15 de Noviembre, 2015, 8:02
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En esta incursión sobre la teoría de Dirac, en términos modernos, ya estuvimos visitando temas matemáticos relacionados con la representación de conceptos físicos, como el vector de estado. Apareció la separación de Dirac, en vectores bra y ket, vimos su correspondencia con el teorema de Reisz y una demostración en el caso de base finita (curiosamente, Dirac tuvo que dar como supuesta esa correspondencia), y tenemos una multiplicación de vectores con ciertas cualidades. Todavía tenemos poco de física, pero ya va a ir apareciendo. Lo principal de la elección de vectores como modelo es la necesidad de usar algo que permite representar la superposición de estados, un tema básico de la física cuántica. Ver Superposición de Estados, por Dirac.
Estuvimos viendo en el anterior post al espacio dual, de funcionales lineales sobre el espacio de vectores original. Siempre cuesta un poco no ver al espacio dual como igual al espacio original. Pero son distintos, a pesar de la correspondencia de vectores que vimos. Introduzcamos hoy otro concepto, fundamental en la teoría hacia la que vamos, que es el de operador lineal. Un concepto matemático pero que en la teoría de Dirac toma el papel físico de representar una variable dinámica del sistema. Pero primero, veamos el aspecto matemático.
Un operador sobre un espacio vectorial lo que hace es mapear un vector a otro vector. Mientras que un funcional mapeaba un vector a un número, un operador es una función de vector a vector. Si
Es un vector, y
Es un operador, entonces:
Es un vector. Un operador queda definido especificando su acción resultado sobre cada vector del espacio, o por lo menos, de su dominio (bien podríamos encontrar un operador que no se aplica a todo el espacio vectorial, sino sólo a un subconjunto de vectores).
Nos interesan los operadores lineales (pues como veremos, estos operadores permiten conservar el principio de superposición lineal). Un operador es lineal si satisface:
Es suficiente con mostrar que un operador es lineal sobre una base de vectores, pues luego, por su propia linealidad, esta propiedad se extiende a cualquier combinación lineal de esa base, por ende, a todos los vectores del espacio generado por esa base.
Para afirmar la igualdad de dos operadores:
Basta con mostrar la igualdad de sus resultados sobre cada vector del dominio:
Podemos definir la suma de operadores:
Y la multiplicación de operadores:
Es fácil ver que los resultados de la suma y la multiplicación de operadores lineales son a su vez, operadores lineales. También se ve, de la definición de multiplicación, que su aplicación es asociativa, esto es:
Pero, notablemente, y esto es una característica de importancia en la teoría cuántica, no necesariamente AB es igual a BA, es decir, la multiplicación de operadores no necesariamente es conmutativa.
En el próximo post veremos algún ejemplo concreto de operador lineal. Pero ya vimos que los operadores transforman vectores en otros vectores. Por eso la teoría de Dirac se llama "teoría de transformación".
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Noviembre, 2015, 18:11
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Ya estamos cerca del descubrimiento que confirma las ideas de Weyl y Oppenheimer:
It needed some years of development by the experimenters before the fact of the existence of positrons was established. Blackett was really the first to obtain hard evidence for the existence of a positron but he was afraid to publish it. He wanted confirmation, he was really over-cautious. It was left to Anderson to first publish the evidence for the existence of a positron and to scoop the credit for the discovery of the positron.
No conocía el trabajo de Blackett. Gracias a su descubrimiento, Anderson ganó el Premio Nobel en 1936. Blackett igual ganó el Nobel más tarde, en 1948, por sus trabajos con la cámara de niebla y los rayos cósmicos. Fue en las primeras de esas investigaciones donde detectó la existencia de positrones, con espirales de a pares con las de los electrones.
Comenta Dirac sobre la situación:
When one thinks back to these days, one finds that is really remarkable how unwilling people were to postulate a new particle. This applies both the theoretical and experimental workers. It seems that they would look for any explanation rather than postulate a new particle. It needed the most obvious and unassailable evidence to be presented before them they were reluctantly forced to postulate a new particle. The climate has completely changed since those early days. New particles are now being postulated and proposed continually, in large numbers. There are a hundred or more in current use today. People are only too keen to publish evidence for a new particle, whether this evidence comes from experiment or from some ill-established theoretical idea.
Creo que fue Fermi quien dijo "si hubiera sabido de la existencia de tantas partículas, me hubiera dedicado a la botánica". Es curioso como Dirac se refiere a "ill-established theoretical idea", siendo él mismo un gran físico teórico. Algo no le gustaba de esos días en el desarrollo de las teorías.
It was a very difficult first step to accept the positron. That was followed closely by the discovery of the neutron, confirming Rutherford's hypothesis of several years earlier, and afterwards the neutrino and various mesons were discovered.
Ya falta poco para terminar este comentario rápido de la conferencia de Dirac.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
12 de Noviembre, 2015, 6:50
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9 de Noviembre, 2015, 5:54
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En la teoría del electrón de Dirac, aparece una partícula con carga eléctrica positiva. Dirac propone una ingeniosa teoría de "agujeros" en un mar de electrones, pero los identifica con los protones y no puede explicar su diferencia de masa. Hermann Weyl sale con la idea de que los "agujeros" deberían tener la misma masa que los electrones, pero sin aportar algo físico, solo basado en matemáticas. Y aparece Oppenheimer:
At this stage in the development of the theory, Oppenheimer made a contribution. Oppenheimer accepted Weyl's conclusion that the holes had to have the same mass as the electrons and faced the physical reality that the holes were not observed in practice. Oppenheimer just said that there was some reason, which we do not understand, why the holes are never observed. He agreed that the holes could not have anything to do with protons, so there had to be some mysterious reason why they did not occur in nature.
Interesante la pregunta de Oppenheimer: ¿dónde están esas partículas? Esa es la pregunta que Weyl no se hizo, y fue algo que le llamó la atención a Dirac.
Well, Oppenheimer was really very close to the mark with this hypothesis. The reason why the holes were not observed was simply that the experimental people had not looked for them in the right place, or if they had looked, they had not recognized what they saw.
Curiosamente, no es que se habían observado, sino que habían aparecido pero nadie las tomó en cuenta. Leamos a Dirac:
I can remember in these early days, even somewhat before this theory of electrons and protons, when talking with people who were working in the Cavendish and were observing tracks of particles in a magnetic field, they said that they sometimes observed an electron going into the source. They treated these occurrences as coincidences. Nobody thought it worthwhile to look more closely into them. The ideas of there being a new particle coming out from the source, instead of an ordinary electron going into the source, was completely foreign to the accepted mode of thought of those days. I do not think anybody had the remotest suspicion of such possibility. They had the evidence before their eyes for these new particles with positive charge and the same mass as the electrons, but they were just unable to appreciate what they saw.
Es notable que existieran estos experimentos, y como nadie esperaba una partícula con carga positiva, no se la reconoció como tal. El Cavendish se perdió la gran oportunidad de descubrir a los positrones.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
8 de Noviembre, 2015, 18:16
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A pesar de tener la teoría correcta, Dirac al principio no encuentra la partícula que tiene carga positiva en su ecuación.
I searched about for some time for some cause that would explain it. I hoped that perhats the Coulomb force between electrons might lead to some relantionship between all the electrons in the negative energy states which would lead to a difference in mass, though I could not see how it could come about. But still, I thought there might be something in the basic idea and so I published it as a theory of electrons and protons, and left it quit unexplained how the protons could have such a different mass from the electrons.
Claro, la única partícula conocida entonces con semejante carga positiva era el protón. Dirac deja escapar el descubrimiento de la antimateria. Pero alguien asoma con otra idea:
This idea was seized upon by Herman Weyl. He said boldly that the holes had to have the same mass as the electrons. Now Weyl is a mathematician. He was not a physicist at all. He was just concerned with the mathematical consequences of an idea, working out what can be deduced from the various symmetries. And this mathematical approach led directly to the conclusion that the holes would have to have the same mass as the electrons. Weyl just published a blunt statement that the holes must have the same mass as the electrons and did not make any comments on the physical implications of this assertion. Perhaps he did not really care what the physical implications were. He was just concerned with achieving consistent mathematics.
Curiosamente, el "más matemático de los físicos", Dirac, descuida la idea de la simetría, traida de nuevo por Weyl.
En el próximo post, veremos aparecer a un físico, continuando las ideas iniciales de Weyl.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
7 de Noviembre, 2015, 14:29
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Termino en este post, traducción y comentario de esta sección de Dirac en su clásico Principles of Quamtum Mechanics. Leo:
The assumption of superposition relationships between the states leads to a mathematical theory in which the equations that define a state are linear in the unknowns. In consequence of this, people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading.
Asumir las relaciones de superposición entre los estados nos lleva a una teoría matemática en la cual las ecuaciones que definen un estado son lineales en las incógnitas. Como consecuencia de esto, tratamos de establecer analogías con sistemas de la mecánica clásica, como las cuerdas vibrantes o membranas, que son gobernadas por ecuaciones lineales, y para las que, entonces, se cumple un principio de superposición. Pero es importante recordar que la superposición que aparece en la mecánica cuántica es esencialmente de una naturaleza diferente de cualquiera que aparezca en la teoría clásica, como se muestra por el hecho de que el principio de superposición cuántico demanda indeterminación en los resultados de las observaciones si queremos tener una interpretación física adecuada. Las analogías son engañosas.
Sí, ese es el punto. La teoría clásica ofrece modelos lineales, como las ondas, pero no debemos confundirlos con el modelo que ofrece la cuántica.
Conclusión: el principio de superposición de estados es fundamental a cualquier teoría cuántica, y es diferente de cualquier modelo clásico. La superposición de estados lleva a probabilidades de resultados, mas que a resultados certeros.
En Matemáticas y Física Cuántica y en Teoría de la Transformación, un desarrollo moderno, exploro esos modelos propuestos, donde la superposición de estados y su linealidad ocupan un lugar central en la teoría.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
6 de Noviembre, 2015, 7:16
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Publicado el
2 de Noviembre, 2015, 5:54
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Ya va terminando el año, sigo con mi declaración de resoluciones mensual. A repasar las de octubre:
- Continuar mi serie sobre el ortocentro [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mi serie sobre las series de Fourier [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre el desarrollo de la teoría cuántica según Dirac [completo] ver post ver post ver post ver post
- Continuar mi serie sobre particiones de números [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Además, escribí sobre:
- Simetrías y Física (2) ver post
- Superposición de Estados, por Dirac (5) ver post
- Superposición de Estados, por Dirac (4) ver post
- Electrodinámica Cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia (5) ver post
Resoluciones para este nuevo mes de noviembre:
- Continuar mi serie sobre simetrías y física
- Continuar mi seria sobre la hipótesis de Riemman
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos
- Continuar mi serie sobre las series de Fourier
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre el desarrollo de la teoría cuántica según Dirac
- Continuar mi serie sobre particiones de números
- Comenzar a escribir sobre FinTech
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
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1 de Noviembre, 2015, 17:11
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Hemos visto en el anterior post, que tanto en matemáticas como en física, hay estructuras, con elementos y relaciones. Ejemplos: los puntos en un plano y sus distancias, o un par de electrones y su fuerza de atracción mutua. Y hay transformaciones, funciones que asignan a cada elemento de la estructura un elemento transformado:
f(x) = y
Ejemplo: la rotación de un plano alrededor de un punto. Y hay transformaciones que dejan invariables algunas relaciones, como la rotación del plano que deja invariante las distancias. Pero no solo dejan invariantes las relaciones, sino también la forma de expresarlas, sus fórmulas. Decimos que esas relaciones son invariantes ante un grupo de transformaciones (es fácil demostrar que las transformaciones de tal tipo forman un grupo matemático), y y llamamos a ese grupo el grupo de simetría de nuestra estructura.
Acá no estamos interesados en los grupos abstractos matemáticos, sino en los grupos de simetría que operan sobre sistemas físicos. La pregunta es: dado un sistema físico S y un grupo de simetría G ¿cuáles son las consecuencias para la descripción de tal sistema? ¿qué nos puede decir la existencia de ese grupo G sobre el carácter físico de S?
Tenemos que poner más en concreto qué vamos a entender como simetría en física. Sea un sistema S, con elementos físicos (como electrones y otras partículas). ¿Cuáles relaciones nos importan? Para lo que vamos a tratar, nos importan las ecuaciones del movimiento, que describen la evolución del sistema, y las reglas de la mecánica cuántica. Si ambos conjuntos de relaciones se mantienen ante un grupo de transformaciones G, tendremos un grupo de simetría.
¿Qué cualidad principal tendrá el resultado de aplicar una de las transformaciones de G al sistema S? Pues que no podremos distinguir entre S y el transformado S' por medio de observaciones. La atracción entre dos electrones "transformados" será la misma que antes. Sus ecuaciones de movimiento no cambiarán de forma. Las relaciones físicas no cambian, solamente su expresión en coordenadas o sistemas de medidas.
Veremos en el próximo post un ejemplo rápido de esto aplicado a un sistema de estados cuánticos.
Nos leemos!
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