Publicado el 30 de Noviembre, 2015, 15:17
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Veamos de explorar el concepto de simetría física que estamos esbozando.
Con observables:
Y algunos estados:
Aplicando g sobre el sistema S obtenemos nuevo sistema:
Donde existen los correspondientes observables:
Y donde existen los correspondientes estados:
Esperamos de un operador simétrico QUE NO PRODUZCA efectos observables. Es decir, que cualesquiera sean los estados originales y el observable A, al menos se obtenga:
Esto es, que las probabilidades de observación se mantengan como antes de la transformación. Estas probabilidades son las que dan sentido físico a la descripción de un sistema. Si las probabilidades se mantienen igual, antes y después de la transformación, entonces los sistemas no son distinguibles por observación. Hay dos formas de interpretar la transformación de simetría: como pasiva o como activa. La interpretación activa significa cambiar el sistema material S en OTRO sistema material S". En la interpretación pasiva los sistemas materiales son los mismos, sólo cambia su representación de coordenadas. Por ejemplo, en una interpretación activa, llegar a S" significa GIRAR el sistema S original en un ángulo alfa. En una interpretación pasiva, el sistema material es el mismo, lo que GIRA es el sistema coordenado, en un ángulo menos alfa. Si tomamos la interpretación activa, podemos definir simetría como: G es un grupo de simetría de S, si para cualquier g perteneciente a G existe otro sistema material S" = gS y también un operador funcional Fg que para cada observable A se obtiene otro observable:
Donde midiendo A" en S" se obtienen las mismas distribuciones de probabilidad que midiendo A en S. En el próximo post seguiremos comentando esta definición y consecuencias. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 29 de Noviembre, 2015, 16:45
Publicado el 28 de Noviembre, 2015, 18:38
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Ya conocemos la expresión de la función zeta de Riemann:
Pero solo con n tomando valores naturales. Sabemos también que para n = 1 diverge, es la serie armónica. Pero ¿qué pasa para otros valores de n, por ejemplo, valores reales? Vimos cómo Euler encontró valores para n par. Aún hoy no hay expresiones que resuelvan directamente el valor de esta función para n impar. Pero se pueden calcular los valores. Por ejemplo, para s=1.5, converge a 2.612375… Para s=1.1 converge a 10.58448…. Cuando s es 1.0001, converge a 10000.577222… Justo diverge para s=1, pero para valores cercanos mayores, la suma converge. Si estudiamos los valores cercanos a 1, vemos que la función zeta se comporta muy cercano a:
Si hacemos s = 0, cada uno de los sumandos de la serie es igual a 1 (el numerador es un número elevado a 0, y sabemos que da 1). Con lo cual, diverge completamente. Si s es negativo, por ejemplo -1, la serie se transforma en:
Que claramente diverge. Si hacemos s=1/2, entonces:
Pero cada término es mayor que los términos de la serie armónica:
Y como ésta diverge, también diverge zeta(1/2). Al parecer, parece que la función solo converge para s > 1. ¿Será verdad? Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Noviembre, 2015, 13:20
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Llegamos al final del relato de Dirac:
Según Dirac, la existencia de este monopolo implicaría necesariamente la cuantización de la carga eléctrica. No he leído ese "paper" ni conozco su argumento. Ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole Dirac llama la atención sobre la diferencia de esos días excitantes de desarrollo de la física con nuevas ideas, y el estado de la ciencia en momentos actuales:
El desarrollo del modelo estándar y la teoría de cuerdas pueden verse como nuevas ideas, pero no alcanzan el nivel de "salto" que dieron la relatividad einsteniana y la cuántica. Pueden verse como una evolución de esas ideas, más que como nuevas bases fundamentales. Tal vez el descubrimiento de la energía y la materia oscura, como enigmas modernos, sea el impulso que hace falta para plantear nuevas ideas en las bases de la física. Otra posible fuente de avance (que impulsa aún a las teorías de cuerdas y aledaños) es la pendiente conciliación entre relatividad y cuántica. Así terminamos con este recorrido por el discurso de Dirac. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Noviembre, 2015, 6:17
Publicado el 22 de Noviembre, 2015, 6:22
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Queremos expresar en una serie a las funciones periódicas, de periodo 2 pi, esto es, que cumplen:
Primer intento, que los términos de la serie sean de la forma:
Donde An nos permite tener una especie de "peso" de cada término de la serie. Donde omega n es la frecuencia (la "forma" en que fluctúa el valor de seno cuando varía t), y phi n es la fase, el desplazamiento inicial desde t = 0. El seno involucra a un ángulo que varía con la variable t. Ahora en un momento veremos de hacer estos términos también periódicos de periodo 2 pi. Desarrollando la expresión seno como suma de dos ángulos, podemos expresar cada término como:
Esto es interesante. Hay términos que dependen de t y la frecuencia, uno en seno y otro en coseno. Notablemente los otros factores:
Y
Pueden tomarse como coeficientes independientes:
Y
Pues de cualquier valor que les damos a los coeficientes an, bn, podemos deducir el ángulo phi como:
Donde la tangente puede tomar cualquier valor real. De ahí deducimos phi. Y luego de conocer phi, podemos despejar An:
Así que nuestro desarrollo de f(t) tomaría la forma:
Veremos más adelante de donde proviene el factor ½ en a0. Los valores de n son enteros, y entonces, los términos son periódicos en 2 pi. El que ahora nos quedemos en frecuencias enteras ES LO QUE PRODUCE la periodicidad deseada. Ahora bien, tenemos que mostrar que una f(t) cualquiera periódica 2 pi, tiene el desarrollo de arriba. Ese fue el gran descubrimiento de Fourier, aunque en su tiempo no pudo sentarlo rigurosamente y por eso fue atacado. En realidad, el resultado es notable, y no intuitivo: veremos que multitud de funciones de formas extrañas se pueden llevar a series de senos y cosenos. No era un resultado esperado por los matemáticos contemporáneos de Fourier. Veremos la deducción de los coeficientes an y bn en el próximo post, donde nos aprovecharemos de los resultados de los posts anteriores. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Noviembre, 2015, 16:20
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Continua Dirac, comenzando el fin de su relato:
No lo menciona directamente, pero Dirac parece referirse a los problemas de los infinitos en el desarrollo de la teoría.
Supongo que uno de los trucos a los que se refiere es la renormalización, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization Sigue Dirac:
Recordemos que este discurso de aceptación del premio Oppenheimer fue escrito en 1971. En el próximo post alcanzamos el final del texto. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Noviembre, 2015, 6:02
Publicado el 17 de Noviembre, 2015, 6:20
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Varios temas interesantes para ver, desde lo que es geometría algebraica, el Nullstellensatz de Hilbert, el grupo de Lie G2, y el fascinante tema de los "bounded gaps primes" "Ancient Greek Geometry", desafíos y entretenimiento con regla y compás - Gaussianos | Gaussianos What are the differences between fiber bundle and sheaf? - Mathematics Stack Exchange Sheaf (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia Algebraic geometry - Wikipedia, the free encyclopedia Algebraic variety - Wikipedia, the free encyclopedia Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia Googol Song - Numberphile - YouTube Numberphile - Videos about Numbers and Stuff Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café G2 and the Rolling Ball | The n-Category Café Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café Bounded Gaps Between Primes | The n-Category Café How Does Applied Math Impact Foundations? | The n-Category Café A Characterization of Relative Entropy (Part 1) | The n-Category Café Kullback–Leibler divergence - Wikipedia, the free encyclopedia Convergencia de sucesión de números complejos - Gaussianos | Gaussianos Numeros divisibles. acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas The HoTT Book | The n-Category Café The HoTT Book | Homotopy Type Theory Homotopy Type Theory: a new foundation for 21st-century mathematics | The Aperiodical 6174 (number) - Wikipedia, the free encyclopedia Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Noviembre, 2015, 6:23
Publicado el 15 de Noviembre, 2015, 8:02
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En esta incursión sobre la teoría de Dirac, en términos modernos, ya estuvimos visitando temas matemáticos relacionados con la representación de conceptos físicos, como el vector de estado. Apareció la separación de Dirac, en vectores bra y ket, vimos su correspondencia con el teorema de Reisz y una demostración en el caso de base finita (curiosamente, Dirac tuvo que dar como supuesta esa correspondencia), y tenemos una multiplicación de vectores con ciertas cualidades. Todavía tenemos poco de física, pero ya va a ir apareciendo. Lo principal de la elección de vectores como modelo es la necesidad de usar algo que permite representar la superposición de estados, un tema básico de la física cuántica. Ver Superposición de Estados, por Dirac. Estuvimos viendo en el anterior post al espacio dual, de funcionales lineales sobre el espacio de vectores original. Siempre cuesta un poco no ver al espacio dual como igual al espacio original. Pero son distintos, a pesar de la correspondencia de vectores que vimos. Introduzcamos hoy otro concepto, fundamental en la teoría hacia la que vamos, que es el de operador lineal. Un concepto matemático pero que en la teoría de Dirac toma el papel físico de representar una variable dinámica del sistema. Pero primero, veamos el aspecto matemático. Un operador sobre un espacio vectorial lo que hace es mapear un vector a otro vector. Mientras que un funcional mapeaba un vector a un número, un operador es una función de vector a vector. Si
Es un vector, y
Es un operador, entonces:
Es un vector. Un operador queda definido especificando su acción resultado sobre cada vector del espacio, o por lo menos, de su dominio (bien podríamos encontrar un operador que no se aplica a todo el espacio vectorial, sino sólo a un subconjunto de vectores). Nos interesan los operadores lineales (pues como veremos, estos operadores permiten conservar el principio de superposición lineal). Un operador es lineal si satisface:
Es suficiente con mostrar que un operador es lineal sobre una base de vectores, pues luego, por su propia linealidad, esta propiedad se extiende a cualquier combinación lineal de esa base, por ende, a todos los vectores del espacio generado por esa base. Para afirmar la igualdad de dos operadores:
Basta con mostrar la igualdad de sus resultados sobre cada vector del dominio:
Podemos definir la suma de operadores:
Y la multiplicación de operadores:
Es fácil ver que los resultados de la suma y la multiplicación de operadores lineales son a su vez, operadores lineales. También se ve, de la definición de multiplicación, que su aplicación es asociativa, esto es:
Pero, notablemente, y esto es una característica de importancia en la teoría cuántica, no necesariamente AB es igual a BA, es decir, la multiplicación de operadores no necesariamente es conmutativa. En el próximo post veremos algún ejemplo concreto de operador lineal. Pero ya vimos que los operadores transforman vectores en otros vectores. Por eso la teoría de Dirac se llama "teoría de transformación". Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Noviembre, 2015, 18:11
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Ya estamos cerca del descubrimiento que confirma las ideas de Weyl y Oppenheimer:
No conocía el trabajo de Blackett. Gracias a su descubrimiento, Anderson ganó el Premio Nobel en 1936. Blackett igual ganó el Nobel más tarde, en 1948, por sus trabajos con la cámara de niebla y los rayos cósmicos. Fue en las primeras de esas investigaciones donde detectó la existencia de positrones, con espirales de a pares con las de los electrones. Comenta Dirac sobre la situación:
Creo que fue Fermi quien dijo "si hubiera sabido de la existencia de tantas partículas, me hubiera dedicado a la botánica". Es curioso como Dirac se refiere a "ill-established theoretical idea", siendo él mismo un gran físico teórico. Algo no le gustaba de esos días en el desarrollo de las teorías.
Ya falta poco para terminar este comentario rápido de la conferencia de Dirac. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 12 de Noviembre, 2015, 6:50
Publicado el 9 de Noviembre, 2015, 5:54
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En la teoría del electrón de Dirac, aparece una partícula con carga eléctrica positiva. Dirac propone una ingeniosa teoría de "agujeros" en un mar de electrones, pero los identifica con los protones y no puede explicar su diferencia de masa. Hermann Weyl sale con la idea de que los "agujeros" deberían tener la misma masa que los electrones, pero sin aportar algo físico, solo basado en matemáticas. Y aparece Oppenheimer:
Interesante la pregunta de Oppenheimer: ¿dónde están esas partículas? Esa es la pregunta que Weyl no se hizo, y fue algo que le llamó la atención a Dirac.
Curiosamente, no es que se habían observado, sino que habían aparecido pero nadie las tomó en cuenta. Leamos a Dirac:
Es notable que existieran estos experimentos, y como nadie esperaba una partícula con carga positiva, no se la reconoció como tal. El Cavendish se perdió la gran oportunidad de descubrir a los positrones. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Noviembre, 2015, 18:16
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A pesar de tener la teoría correcta, Dirac al principio no encuentra la partícula que tiene carga positiva en su ecuación.
Claro, la única partícula conocida entonces con semejante carga positiva era el protón. Dirac deja escapar el descubrimiento de la antimateria. Pero alguien asoma con otra idea:
Curiosamente, el "más matemático de los físicos", Dirac, descuida la idea de la simetría, traida de nuevo por Weyl. En el próximo post, veremos aparecer a un físico, continuando las ideas iniciales de Weyl. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 7 de Noviembre, 2015, 14:29
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Termino en este post, traducción y comentario de esta sección de Dirac en su clásico Principles of Quamtum Mechanics. Leo:
Sí, ese es el punto. La teoría clásica ofrece modelos lineales, como las ondas, pero no debemos confundirlos con el modelo que ofrece la cuántica. Conclusión: el principio de superposición de estados es fundamental a cualquier teoría cuántica, y es diferente de cualquier modelo clásico. La superposición de estados lleva a probabilidades de resultados, mas que a resultados certeros. En Matemáticas y Física Cuántica y en Teoría de la Transformación, un desarrollo moderno, exploro esos modelos propuestos, donde la superposición de estados y su linealidad ocupan un lugar central en la teoría. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 6 de Noviembre, 2015, 7:16
Publicado el 2 de Noviembre, 2015, 5:54
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Ya va terminando el año, sigo con mi declaración de resoluciones mensual. A repasar las de octubre: - Continuar mi serie sobre el ortocentro [completo] ver post Además, escribí sobre: - Simetrías y Física (2) ver post Resoluciones para este nuevo mes de noviembre: - Continuar mi serie sobre simetrías y física Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Noviembre, 2015, 17:11
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Hemos visto en el anterior post, que tanto en matemáticas como en física, hay estructuras, con elementos y relaciones. Ejemplos: los puntos en un plano y sus distancias, o un par de electrones y su fuerza de atracción mutua. Y hay transformaciones, funciones que asignan a cada elemento de la estructura un elemento transformado: f(x) = y Ejemplo: la rotación de un plano alrededor de un punto. Y hay transformaciones que dejan invariables algunas relaciones, como la rotación del plano que deja invariante las distancias. Pero no solo dejan invariantes las relaciones, sino también la forma de expresarlas, sus fórmulas. Decimos que esas relaciones son invariantes ante un grupo de transformaciones (es fácil demostrar que las transformaciones de tal tipo forman un grupo matemático), y y llamamos a ese grupo el grupo de simetría de nuestra estructura. Acá no estamos interesados en los grupos abstractos matemáticos, sino en los grupos de simetría que operan sobre sistemas físicos. La pregunta es: dado un sistema físico S y un grupo de simetría G ¿cuáles son las consecuencias para la descripción de tal sistema? ¿qué nos puede decir la existencia de ese grupo G sobre el carácter físico de S? Tenemos que poner más en concreto qué vamos a entender como simetría en física. Sea un sistema S, con elementos físicos (como electrones y otras partículas). ¿Cuáles relaciones nos importan? Para lo que vamos a tratar, nos importan las ecuaciones del movimiento, que describen la evolución del sistema, y las reglas de la mecánica cuántica. Si ambos conjuntos de relaciones se mantienen ante un grupo de transformaciones G, tendremos un grupo de simetría. ¿Qué cualidad principal tendrá el resultado de aplicar una de las transformaciones de G al sistema S? Pues que no podremos distinguir entre S y el transformado S' por medio de observaciones. La atracción entre dos electrones "transformados" será la misma que antes. Sus ecuaciones de movimiento no cambiarán de forma. Las relaciones físicas no cambian, solamente su expresión en coordenadas o sistemas de medidas. Veremos en el próximo post un ejemplo rápido de esto aplicado a un sistema de estados cuánticos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |