Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Noviembre, 2015, 8:02

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En esta incursión sobre la teoría de Dirac, en términos modernos, ya estuvimos visitando temas matemáticos relacionados con la representación de conceptos físicos, como el vector de estado. Apareció la separación de Dirac, en vectores bra y ket, vimos su correspondencia con el teorema de Reisz y una demostración en el caso de base finita (curiosamente, Dirac tuvo que dar como supuesta esa correspondencia), y tenemos una multiplicación de vectores con ciertas cualidades. Todavía tenemos poco de física, pero ya va a ir apareciendo. Lo principal de la elección de vectores como modelo es la necesidad de usar algo que permite representar la superposición de estados, un tema básico de la física cuántica. Ver Superposición de Estados, por Dirac.

Estuvimos viendo en el anterior post al espacio dual, de funcionales lineales sobre el espacio de vectores original. Siempre cuesta un poco no ver al espacio dual como igual al espacio original. Pero son distintos, a pesar de la correspondencia de vectores que vimos. Introduzcamos hoy otro concepto, fundamental en la teoría hacia la que vamos, que es el de operador lineal. Un concepto matemático pero que en la teoría de Dirac toma el papel físico de representar una variable dinámica del sistema. Pero primero, veamos el aspecto matemático.

Un operador sobre un espacio vectorial lo que hace es mapear un vector a otro vector. Mientras que un funcional mapeaba un vector a un número, un operador es una función de vector a vector. Si

Es un vector, y

Es un operador, entonces:

Es un vector. Un operador queda definido especificando su acción resultado sobre cada vector del espacio, o por lo menos, de su dominio (bien podríamos encontrar un operador que no se aplica a todo el espacio vectorial, sino sólo a un subconjunto de vectores).

Nos interesan los operadores lineales (pues como veremos, estos operadores permiten conservar el principio de superposición lineal). Un operador es lineal si satisface:

Es suficiente con mostrar que un operador es lineal sobre una base de vectores, pues luego, por su propia linealidad, esta propiedad se extiende a cualquier combinación lineal de esa base, por ende, a todos los vectores del espacio generado por esa base.

Para afirmar la igualdad de dos operadores:

Basta con mostrar la igualdad de sus resultados sobre cada vector del dominio:

Podemos definir la suma de operadores:

Y la multiplicación de operadores:

Es fácil ver que los resultados de la suma y la multiplicación de operadores lineales son a su vez, operadores lineales. También se ve, de la definición de multiplicación, que su aplicación es asociativa, esto es:

Pero, notablemente, y esto es una característica de importancia en la teoría cuántica,  no necesariamente AB es igual a BA, es decir, la multiplicación de operadores no necesariamente es conmutativa.

En el próximo post veremos algún ejemplo concreto de operador lineal. Pero ya vimos que los operadores transforman vectores en otros vectores. Por eso la teoría de Dirac se llama "teoría de transformación".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia