Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Noviembre, 2015, 6:22

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Queremos expresar en una serie a las funciones periódicas, de periodo 2 pi, esto es, que cumplen:

Primer intento, que los términos de la serie sean de la forma:

Donde An nos permite tener una especie de "peso" de cada término de la serie. Donde omega n es la frecuencia (la "forma" en que fluctúa el valor de seno cuando varía t), y phi n es la fase, el desplazamiento inicial desde t = 0. El seno involucra a un ángulo que varía con la variable t. Ahora en un momento veremos de hacer estos términos también periódicos de periodo 2 pi.

Desarrollando la expresión seno como suma de dos ángulos, podemos expresar cada término como:

Esto es interesante. Hay términos que dependen de t y la frecuencia, uno en seno y otro en coseno. Notablemente los otros factores:

Y

Pueden tomarse como coeficientes independientes:

Y

Pues de cualquier valor que les damos a los coeficientes an, bn, podemos deducir el ángulo phi como:

Donde la tangente puede tomar cualquier valor real. De ahí deducimos phi. Y luego de conocer phi, podemos despejar An:

Así que nuestro desarrollo de f(t) tomaría la forma:

Veremos más adelante de donde proviene el factor ½ en a0. Los valores de n son enteros, y entonces, los términos son periódicos en 2 pi. El que ahora nos quedemos en frecuencias enteras ES LO QUE PRODUCE la periodicidad deseada. Ahora bien, tenemos que mostrar que una f(t) cualquiera periódica 2 pi, tiene el desarrollo de arriba. Ese fue el gran descubrimiento de Fourier, aunque en su tiempo no pudo sentarlo rigurosamente y por eso fue atacado. En realidad, el resultado es notable, y no intuitivo: veremos que multitud de funciones de formas extrañas se pueden llevar a series de senos y cosenos. No era un resultado esperado por los matemáticos contemporáneos de Fourier.

Veremos la deducción de los coeficientes an y bn en el próximo post, donde nos aprovecharemos de los resultados de los posts anteriores.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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