Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Noviembre, 2015, 18:38

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Ya conocemos la expresión de la función zeta de Riemann:

Pero solo con n tomando valores naturales. Sabemos también que para n = 1 diverge, es la serie armónica. Pero ¿qué pasa para otros valores de n, por ejemplo, valores reales?

Vimos cómo Euler encontró valores para n par. Aún hoy no hay expresiones que resuelvan directamente el valor de esta función para n impar. Pero se pueden calcular los valores. Por ejemplo, para s=1.5, converge a 2.612375… Para s=1.1 converge a 10.58448…. Cuando s es 1.0001, converge a 10000.577222… Justo diverge para s=1, pero para valores cercanos mayores, la suma converge. Si estudiamos los valores cercanos a 1, vemos que la función zeta se comporta muy cercano a:

Si hacemos s = 0, cada uno de los sumandos de la serie es igual a 1 (el numerador es un número elevado a 0, y sabemos que da 1). Con lo cual, diverge completamente.

Si s es negativo, por ejemplo -1, la serie se transforma en:

Que claramente diverge. Si hacemos s=1/2, entonces:

Pero cada término es mayor que los términos de la serie armónica:

Y como ésta diverge, también diverge zeta(1/2).

Al parecer, parece que la función solo converge para s > 1. ¿Será verdad?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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