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Analicemos un poco lo que vimos en el anterior post. El tener una operación g tal que transforma S en S":
Merece una observación más detallada. El decir que S "se transforma" en S" significa que hay algo que distingue a S de S", por ejemplo las orientaciones de las velocidades de los elementos en S son distintas de las orientaciones en S" PARA UN OBSERVADOR. Pero si entonces hay diferencias entre S y S" que pueden ser observadas, NO ESTAMOS en el caso de la simetría que queremos estudiar. Los observadores (o más general, los alrededores del sistema) VIOLAN la simetría por solo estar presentes, pero para mantener nuestra definición debemos remarcar que sus efectos en el sistema que los rodea es despreciable. Si no hubiera esos observadores o alrededores del sistema, por ejemplo, sino hubiera un sistema de coordenadas fijo a un laboratorio, S y S" serían el mismo sistema. Es decir, si tomamos a S aislado, sin tomar en cuenta observadores, laboratorios, alrededores, entonces S es indistinguible de S".
Esto nos lleva a pensar que podríamos decir que S y S" NO SON SISTEMAS DIFERENTES, cuyas diferencias solo se ponen de manifiesto por la relación de ruptura de simetría que imponen los observadores, laboratorios y alrededores, sino solamente dos estados del mismo sistema (de nuevo, diferentes estados con respecto a la ruptura de simetría que imponen otros elementos fuera de S y S"). Es interesante considerar que son estados diferentes. Por ejemplo, S" es S luego de transcurridos 10 minutos. Es simplemente un estado que evolucionó desde S. Pero igual decimos "otro sistema S"" porque bien podría ser que S" sea la reflexión especular de S, y esté compuesto de antimateria. Independientemente de esto (considerarlos dos sistemas diferentes, o verlos como dos estados del mismo sistema) lo importante es recordar de la definición que los resultados observables de ambos, son indistinguibles.
Pero sigamos adelante con la idea de S y S" como el mismo e indistinguible sistema. Entonces, resulta que la operación g mapea todos los estados posibles de S en estados de sí mismo. Entonces cada estado de S":
Es también un estado de S, digamos:
Lo mismo podemos decir para cada "nuevo" observable A", que es uno de los posibles observables de S "original".
Examinemos esto un poco más detenidamente. Sabemos que en cuántica, un vector puede ir cambiando en el tiempo, y que el hamiltoniano está involucrado en este cambio. En concreto, en el sistema S, podemos escribir la evolución en el tiempo de un vector inicial como:
Esto en la imagen de Schrodinger. Y en S" podemos escribir:
O sea, acá hay otro hamiltoniano H".
Tomemos un vector y su evolución en el tiempo de 0 a t, en S:
Y sea la evolución de su correspondiente vector (luego de g) en S":
Sin embargo, por lo expuesto, el vector de S":
Es también un posible vector de S, que evoluciona como:
(notemos que ahora el hamiltoniano es H en lugar de H")
Bien, para que los sistemas sean indistinguibles debe entonces pasar que para cualquier vector bra
Se cumpla:
Es decir, que las probabilidades de encontrar cualquier vector sean las mismas, no importa si tomamos la evolución en el tiempo desde un sistema o desde el otro. Si esto no fuera así, entonces ambos sistemas sería distinguibles observando su historia interna, porque cambiarían de forma distinguible sus vectores con el tiempo. Notemos que estamos trabajando con vectores en S", pero como el vector de partida en el tiempo 0 es, por lo discutido, también un vector en S, debe poder ser aplicado ambos hamiltonianos.
Exprensando lo de arriba como:
Si se tiene que cumplir para cualquier bra, esto implica una relación entre la expresión:
Y la expresión:
que sea tal que no altere el resultado de las probabilidades.
Encontrar la relación se complica un poco, porque en la mayoría de los casos el operador H es una matriz (mejor dicho, se representa como matriz en los espacios de dimensión finita o infinita numerable, dada una base). Así que el exponente no es un simple número imaginario. Pero podemos ver que se cumpliría la no distinguibilidad si:
(Habría que desarrollar el exponente de e por una matriz I diagonal con valores imaginarios).
Donde lambda es un número real. Bien podemos poner lambda igual a cero.
En el próximo post, examinaremos esto mismo pero desde la imagen de Heisenberg, donde lo que evolucionan en el tiempo no son los vectores sino los propios operadores. Es un interesante ejercicio de otra imagen que no siempre es bien conocida, pero nos habla de que el mismo sistema y conceptos pueden ser representados de distinta forma.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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