Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 12 de Diciembre, 2015, 17:18

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Veamos hoy algún ejemplo de operador lineal. Sea un espacio de vectores discretos representados como columnas, de N dimensiones. Entonces cada operador lineal puede ser representado como una matriz. Consideremos por ejemplo la ecuación:

Tomemos una base ortonormal :

De tal forma que podemos expandir cualquier vector expresándolo en esa base:

Y

Aplicando el operador M como en la ecuación original:

Habiendo reordenado los factores numéricos aj y bk. Si multiplicamos a la izquierda por

Queda

La expresión:

Es un número (resultado de multiplicar un vector bra por un vector ket, este último transformado por el operador lineal M), y podemos escribir:

Con lo cual formamos una matriz, variando los índices i y j. La ecuación toma la forma matricial:

A cada uno de los números

Se lo conoce como elemento de la matriz del operador M (en la base seleccionada)

Se pueden extender estas ideas a espacios de dimensión infinita con base ortonormal numerable. Pero se complica un poco porque tenemos que lidiar con el problema de la convergencia de las sumas infinitas.

Otras veces, los operadores lineales toman la forma de operadores diferenciales o integrales. Una ecuación de operador como:

Puede al principio parecer extraña, hasta que recordamos que un operador se define por su acción sobre un vector. La ecuación de arriba es en una expresión reducida de:

Para toda función de x:

La ecuación de arriba, tan extraña cuando se la ve sin la aplicación de la función, tiene importancia en lo que vamos a ver de física cuántica. De alguna forma, expresa una no conmutatividad: aplicar x y luego una derivada parcial NO ES LO MISMO que aplicar derivada parcial y luego multiplicar por x.

Y ya sabemos, pero nos falta explorar en detalle, que las funciones pueden ser tomadas como vectores de un espacio y hasta tener definido un producto interno apropiado (ver final del post 3)

Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia