Publicado el 31 de Enero, 2016, 15:52
En los posts anteriores vimos operadores lineales, en espacios vectoriales generales, y luego los aplicamos solo a los vectores ket de la notación de Dirac. Veamos hoy de aplicarlos a los vectores bra. Para eso, definimos su acción A LA IZQUIERDA de un bra, como: Esto parece trivial en la notación de Dirac, y es uno de los aportes de esta notación. Podemos usar el operador en el medio: Sin preocuparnos "hacia" que lado se aplica. Pero es conveniente para entender todo este desarrollo, que nos detengamos en examinar esto en más detalle. Porque una cosa es un operador lineal actuando sobre vectores ket, y otra cosa diferente es un operador lineal sobre vectores bra. Un vector bra es, de hecho, un funcional lineal en el espacio de los vectores ket. Un vector bra: Es, una notación más detallada, el funcional: Donde Es el vector que le corresponde a ese funcional F según el teorema de Riesz. El punto representa el lugar para el argumento que tiene que recibir el funcional, un vector. Podemos definir la aplicación de un operador lineal A sobre un funcional F, como: Para todo vector psi. La parte derecha de esta ecuación satisface la definición de un funcional lineal del vector psi, y entonces define un nuevo funcional, que tomando la parte izquierda, podemos escribir: De acuerdo con el teorema de Riesz, a este funcional le debe corresponder un vector ji tal que cumple: Dado un A, el vector ji queda determinado unívocamente por el vector phi. Entonces, debe existir un operador Tal que cumpla Podemos escribir: Como Pero recordemos que: Y que Quedando Esto vale para cualquier par de vectores phi, psi. Lo que dice, es que a cada operador líneal A sobre kets, le corresponde un operador lineal (que EXISTE forzosamente) actuando sobre bras. Este operador A-cruz se denomina ADJUNTO de A. En los párrafos de arriba, la existencia del adjunto la deducimos del teorema de Riesz. En la notación de Dirac, se puede introducir el adjunto (directamente, sin probar que existe) como el operador que al operar A sobre los kets, el adjunto opera de la misma forma sobre los bra. Cumpliendo: Cuando Este camino, en la notación de Dirac, permite introducir el adjunto de un operador PERO NO DEMUESTRA su existencia. Sabiendo que Se sigue la propiedad del adjunto: En el próximo post veremos algunas propiedades más de este operador, que va a ir cobrando importancia en este desarrollo que estamos siguiendo. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 30 de Enero, 2016, 14:42
Publicado el 24 de Enero, 2016, 18:31
Publicado el 23 de Enero, 2016, 7:31
Publicado el 22 de Enero, 2016, 6:41
Publicado el 19 de Enero, 2016, 7:16
Ver el tema de préstamos persona a persona (P2P lending) y los lending robots. El tema P2P lending es uno de los más activos en el panorama fintech. FinTech News: #Finovate, #Gamification trends AdviceGames Uses Gamification to Help Users Budget for their Mortgage Persuasion and gamification in fintech Advicegames - European FinTech Awards - 100 - Capital - Events - Community LendingRobot Extends Reach into SMB Marketplace Lending, Adds Funding Circle to its Platform - Peer to Peer Lending and Private Lending Info Peer to Peer Lending reddit How To Improve CIBIL Score In 4 Steps The disruption of banking How London Startups Are Dominating FinTech Can blockchain help the cards and payments industry? Saturday, Nov. 28, 2015 - FinTech Startup's Morning Coffee Bitcoin debit card makes cryptocurrency more accessible | Springwise 5 Mistakes You Should Avoid When Starting A FinTech Company: Lessons From A FinTech CEO - NASDAQ.com Online Investment Platform | Invest in the future of finance Lending Club Review - How To Invest In Loans Like A Bank - YouTube A Deeper Look at Peer to Peer Lending | Where the Money Is - 2/12/14 | The Motley Fool - YouTube Lending Club personal loan application - YouTube Lending Club: A Smart Lenders Guide to Picking Loans - YouTube Personal Loans through Lending Club for Home Improvement- Tootie Reviews Her Experience - YouTube Mis enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Enero, 2016, 6:35
Desde mi infancia, me han fascinado los polinomios. Los comencé a conocer en un libro español de divulgación, el volumen dedicado a matemáticas de una serie de varios temas. Fue uno de los libros que más me ayudo en los primeros años de estudiar lo que era matemáticas. Los temas eran limitados, pero interesantes. Algo ya comenté sobre polinomios, ver enlaces relacionados al final del post. Un punto interesante es que los polinomios formales no son números pero se comportan como ellos: se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir. Los matemáticos manejan polinomios de una o varias variables. Otra de las características que les interesan es la estructura de los coeficientes. Podrían pertenecer a un cuerpo (generalmente conmutativo) o pertenecer a un anilo (frecuente un dominio de integridad "sin divisores de cero"). En ambos casos, los polinomios forman un anillo (ver Anillos Conmutativos). Veamos hoy un anillo de polinomios particular: formales en una sola variable, y con coeficientes enteros. Ejemplo: O El que los coeficientes sean enteros, no significa que no podamos sustituir la variable formal por un valor real o aún complejo. A los matemáticos muchas veces les interesan los valores que se le puede dar a la variable formal, de manera tal que la valuación resultante de un polinomio de cero. Son las famosas raíces de los polinomios. Es notable que aún con coeficientes enteros, no podamos asegurar que todas las raíces sean enteras. De hecho, la historia de encontrar todas las raíces de un polinomio (aun considerando solamente coeficientes enteros) ha llevado a extender los sistemas de números, a racionales, a reales, y a complejos. Ejemplo clásico: La búsqueda de esta solución lleva a los números enteros negativos. Y la solución a: Lleva a los pitagóricos a descubrir números que no se pueden expresar como razones de naturales. Y la solución a: Lleva a los números complejos. ¿Por qué no mas sistemas de números, más allá de los complejos? Un tema interesantísimo pero que tengo que dejar para otro post. Baste recordar acá que el teorema fundamental del álgebra nos deja tranquilos: todos los polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, reales, complejos) tienen raíces a lo sumo complejas. Lo interesante es que todas extensiones parten de polinomios con coeficientes enteros. No ganamos mucho más con otros tipos de coeficientes (sólo algo más si usamos coeficientes trascendentes, como el número pi). A los matemáticos les gusta explorar cómo los elementos de una estructura se pueden descomponer en otros, especialmente usando la multiplicación, cuando ésta está definida. En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, el caso más simple es descomponer un polinomio en la multiplicación de otro por un entero: Llegamos así a polinomios que no pueden descomponerse, como: Porque no hay factor común entre sus coeficientes: no hay máximo común divisor, como no sea una unidad. Estos polinomios son muy interesantes, y hasta merecen un nombre: polinomios primitivos. Es evidente que cualquier polinomio que tenga un coeficiente igual a 1 (uno) es primitivo. En los próximos posts exploraremos algunas de sus características especiales. Mientras, post relacionados, donde ya aparecieron polinomios: El anillo K[x] Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Enero, 2016, 7:42
Más temas interesantes, me llamó la atención la relación de las simetrías del icosaedro con algunas formas modulares y la resolución de la quíntica. Fermat's unfinished business | The Endeavour Tito Eliatron Dixit: Edicion 4.123105 del Carnaval de Matemáticas: 23-29 de Septiembre. Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf Gaussian Primes - Jason Davies Burr distribution - Wikipedia, the free encyclopedia Blog Post: Math and Music | vismath Of solving the rubik's from scratch [Python] Introduction to Network Mathematics La Ciencia en Papel | La ciencia tambien puede ser betseller IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 6 - Gaussianos | Gaussianos A complex Mathematics expression evaluation module in Visual Basic - CodeProject Formal Concept Analysis | The n-Category Café Polymath8: Writing the paper, II | What's new Determinacy of Borel games III | Gowers's Weblog Mis Enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Enero, 2016, 14:56
Publicado el 8 de Enero, 2016, 6:23
Hay mucho movimiento en el tema de préstamos personales y a empresas, y de "crowdfunding" de esos préstamos, salteando el sistema bancario tradicional. Lending Club - Wikipedia, the free encyclopedia Former SBA Chief Weighs in on the Rapidly Changing World of Financing - WSJ Personal Loans | Borrow – Invest with Peer Lending - Lending Club Vivus.com.ar World's Largest Social Trading & Investment Network | eToro Santander InnoVentures – Santander InnoVentures Distributed Ledger Challenge launched to inspire fintech startups worldwide La AFIP lanza una app para facturar por celular - 19.11.2015 - LA NACION 24/7 Online Loans - Escape Payday Loans & Build Credit - LendUp LendUp Expands Financial Education for All Thibaut Loilier (@tloilier) | Twitter Mark Petty on Twitter: ""Every Hour In FinTech" - Amazing infographic on #BigData in #FinTech - thank you @obussmann! https://t.co/NprPOphx4g" Mark Petty (@pettymark) | Twitter AI: Neobanks, advising, research by BreakingBank$ | Breaking Bank$ | Free Listening on SoundCloud Breaking Banks | Listen to the Radio Show each week or get the book on Amazon.com today Breaking Bank$ Radio (@Breakingbanks1) | Twitter b.trader - Aplicaciones de Android en Google Play Coinbase Is Out to Build Payments Right Into Browsers | WIRED Mis enlaces Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 3 de Enero, 2016, 13:50
Ha llegado un nuevo año. Pero como es habitual, sigo escribiendo resoluciones públicas de forma mensual. Veamos primero el resultado de las resoluciones de diciembre. - Escribir sobre FinTech [completo] ver post Además escribí sobre Para este mes nuevo de enero de 2016, mis resoluciones son: - Continuar escribiendo sobre FinTech Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Enero, 2016, 17:05
En el anterior post llegamos al desarrollo: Cuando: y Comencemos a examinar esa expresión del cubo de z. Si suponemos que no hay factores comunes entre los dos factores de la izquierda, es decir su máximo común divisor es la unidad: Entonces ambos factores son cubos perfectos: Quedando: Y el otro factor es entonces: Esta última expresión tiene una forma interesante. Acá aparece un salto, algo no evidente, en el esquema de esta demostración. La parte izquierda se puede expresar como:
Vamos a suponer que ambos factores: y no tienen un divisor común en ese anillo, y entonces, son cubos perfectos en ese anillo. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Enero, 2016, 7:46
Veamos hoy un caso de usar lagrangiano para deducir las ecuaciones de movimiento, pero planteado en otras coordenadas. Queda todavía pendiente la demostración de que el cambio de coordenadas no afecta el algoritmo que usamos, pero veamos un ejemplo antes de encarar la demostración. Sea una partícula sujeta a una vara, pero deslizando libremente sobre la misma, sin fuerzas exteriores. La vara va girando con velocidad angular uniforme, apoyada en un punto fijo: Queremos deducir las ecuaciones de movimientos. Planteamos la energía cinética y potencial usando como coordenadas generalizadas el ángulo que forma la vara con el piso, y la distancia de nuestra partícula al punto de apoyo de la vara. La energía cinética es: Ahora bien, hay algo que liga a la partícula a la vara, resultando que su velocidad angular es la misma que la vara. Esta tiene velocidad angular constante, llamémosla omega: La lagrangiana en los anteriores posts la expresamos como la suma de T (energía cinética) y V (energía potencial), pero V es cero, porque no hay nada que forme un potencial (no estamos considerando la gravedad). Entonces queda que la lagrangiana es simplemente igual a T: Recordemos la ecuación de Lagrange: Una por cada coordenada. Pero debido a las ligaduras, tenemos una sola coordenada, la r. Queda Lo que da Quedando Para resolverla e integrarla, hay que apelar a un truco. Multiplicamos ambos miembros por r-punto: Esto es igual a: Porque omega es constante y se puede sacar afuera. Integrando, queda Siendo C1 una constante arbitraria originada por la integración simbólica. Esto es: Curiosamente, esta ecuación se puede integrar directamente, quedando: Fue algo arduo, pero llegamos a un resultado: expresar la coordenada r en función del tiempo, aplicando lo que sabemos de lagrangianas. En próximos posts, más ejemplos de coordenadas varias, y alguna demostración de la invariancia por cambio de sistema de coordenadas. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |