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Enero del 2016
Publicado el
31 de Enero, 2016, 15:52
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En los posts anteriores vimos operadores lineales, en espacios vectoriales generales, y luego los aplicamos solo a los vectores ket de la notación de Dirac. Veamos hoy de aplicarlos a los vectores bra. Para eso, definimos su acción A LA IZQUIERDA de un bra, como:
Esto parece trivial en la notación de Dirac, y es uno de los aportes de esta notación. Podemos usar el operador en el medio:
Sin preocuparnos "hacia" que lado se aplica.
Pero es conveniente para entender todo este desarrollo, que nos detengamos en examinar esto en más detalle. Porque una cosa es un operador lineal actuando sobre vectores ket, y otra cosa diferente es un operador lineal sobre vectores bra.
Un vector bra es, de hecho, un funcional lineal en el espacio de los vectores ket. Un vector bra:
Es, una notación más detallada, el funcional:
Donde
Es el vector que le corresponde a ese funcional F según el teorema de Riesz. El punto representa el lugar para el argumento que tiene que recibir el funcional, un vector. Podemos definir la aplicación de un operador lineal A sobre un funcional F, como:
Para todo vector psi.
La parte derecha de esta ecuación satisface la definición de un funcional lineal del vector psi, y entonces define un nuevo funcional, que tomando la parte izquierda, podemos escribir:
De acuerdo con el teorema de Riesz, a este funcional le debe corresponder un vector ji tal que cumple:
Dado un A, el vector ji queda determinado unívocamente por el vector phi. Entonces, debe existir un operador
Tal que cumpla
Podemos escribir:
Como
Pero recordemos que:
Y que
Quedando
Esto vale para cualquier par de vectores phi, psi. Lo que dice, es que a cada operador líneal A sobre kets, le corresponde un operador lineal (que EXISTE forzosamente) actuando sobre bras. Este operador A-cruz se denomina ADJUNTO de A.
En los párrafos de arriba, la existencia del adjunto la deducimos del teorema de Riesz. En la notación de Dirac, se puede introducir el adjunto (directamente, sin probar que existe) como el operador que al operar A sobre los kets, el adjunto opera de la misma forma sobre los bra. Cumpliendo:
Cuando
Este camino, en la notación de Dirac, permite introducir el adjunto de un operador PERO NO DEMUESTRA su existencia.
Sabiendo que
Se sigue la propiedad del adjunto:
En el próximo post veremos algunas propiedades más de este operador, que va a ir cobrando importancia en este desarrollo que estamos siguiendo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
30 de Enero, 2016, 14:42
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Publicado el
24 de Enero, 2016, 18:31
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Publicado el
23 de Enero, 2016, 7:31
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Siempre es interesante conocer la historia de una ciencia, saber de la vida de sus principales actores, los caminos que se tomaron, equivocados o no, el avance a veces tortuoso.
Richard Feynman - Wikiquote
http://es.wikiquote.org/wiki/Richard_Feynman
La física social explica el caos
http://www.revistaenie.clarin.com/ideas/tecnologia-comunicacion/fisica-social-explica-caos_0_351564980.html
The Wiki History of the Universe in 200 Words or Less
http://members.bellatlantic.net/~vze3fs8i/hist/histwiki.html
Manchester: Britain's greatest university? - Education News, Education - The Independent
http://www.independent.co.uk/news/education/education-news/manchester-britains-greatest-university-2101828.html
Física en la Ciencia Ficción: 50 soluciones a la paradoja de Fermi (11ª solución): La percolación
http://fisicacf.blogspot.com/2010/09/50-soluciones-la-paradoja-de-fermi-11.html
Amazon.com: Quantum Physics for Poets (9781616142339): Leon M. Lederman, Christopher T. Hill: Books
http://www.amazon.com/Quantum-Physics-Poets-Leon-Lederman/dp/1616142332
Quantum Catfight
http://math-blog.com/2010/09/14/quantum-catfight/
Niels Bohr’s Generalization of Classical Mechanics
http://people.bu.edu/pbokulic/papers/Boks-on-Bohr.pdf
The Overestimation of Niels Bohr - July 11, 2007 - The New York Sun
http://www.nysun.com/arts/overestimation-of-niels-bohr/58224/
YouTube - Quantum Mechanics - Indirect Observation
http://www.youtube.com/watch?v=Y8IQbL_DnGk
Science, Reason and Critical Thinking: On the Origin of the Modern Science Map
http://crispian-jago.blogspot.com/2010/09/on-origin-of-modern-science-map.html
Einstein: Superman or Super Stubborn?
http://math-blog.com/2010/09/03/einstein-superman-or-super-stubborn/
Suraz | The History of the Cell Phone (by LOOP)
http://suraz.tumblr.com/post/1073254794/the-history-of-the-cell-phone-by-loop
Olympia Academy - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Olympia_Academy
The Bernese "Akademie Olympia"
http://www.einstein-website.de/z_biography/olympia-e.html
Mis Enlaces
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Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Enero, 2016, 6:41
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Publicado el
19 de Enero, 2016, 7:16
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Publicado el
18 de Enero, 2016, 6:35
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Desde mi infancia, me han fascinado los polinomios. Los comencé a conocer en un libro español de divulgación, el volumen dedicado a matemáticas de una serie de varios temas. Fue uno de los libros que más me ayudo en los primeros años de estudiar lo que era matemáticas. Los temas eran limitados, pero interesantes.
Algo ya comenté sobre polinomios, ver enlaces relacionados al final del post. Un punto interesante es que los polinomios formales no son números pero se comportan como ellos: se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir.
Los matemáticos manejan polinomios de una o varias variables. Otra de las características que les interesan es la estructura de los coeficientes. Podrían pertenecer a un cuerpo (generalmente conmutativo) o pertenecer a un anilo (frecuente un dominio de integridad "sin divisores de cero"). En ambos casos, los polinomios forman un anillo (ver Anillos Conmutativos).
Veamos hoy un anillo de polinomios particular: formales en una sola variable, y con coeficientes enteros.
Ejemplo:
O
El que los coeficientes sean enteros, no significa que no podamos sustituir la variable formal por un valor real o aún complejo. A los matemáticos muchas veces les interesan los valores que se le puede dar a la variable formal, de manera tal que la valuación resultante de un polinomio de cero. Son las famosas raíces de los polinomios.
Es notable que aún con coeficientes enteros, no podamos asegurar que todas las raíces sean enteras. De hecho, la historia de encontrar todas las raíces de un polinomio (aun considerando solamente coeficientes enteros) ha llevado a extender los sistemas de números, a racionales, a reales, y a complejos. Ejemplo clásico:
La búsqueda de esta solución lleva a los números enteros negativos.
Y la solución a:
Lleva a los pitagóricos a descubrir números que no se pueden expresar como razones de naturales.
Y la solución a:
Lleva a los números complejos.
¿Por qué no mas sistemas de números, más allá de los complejos? Un tema interesantísimo pero que tengo que dejar para otro post. Baste recordar acá que el teorema fundamental del álgebra nos deja tranquilos: todos los polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, reales, complejos) tienen raíces a lo sumo complejas.
Lo interesante es que todas extensiones parten de polinomios con coeficientes enteros. No ganamos mucho más con otros tipos de coeficientes (sólo algo más si usamos coeficientes trascendentes, como el número pi).
A los matemáticos les gusta explorar cómo los elementos de una estructura se pueden descomponer en otros, especialmente usando la multiplicación, cuando ésta está definida. En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, el caso más simple es descomponer un polinomio en la multiplicación de otro por un entero:
Llegamos así a polinomios que no pueden descomponerse, como:
Porque no hay factor común entre sus coeficientes: no hay máximo común divisor, como no sea una unidad. Estos polinomios son muy interesantes, y hasta merecen un nombre: polinomios primitivos. Es evidente que cualquier polinomio que tenga un coeficiente igual a 1 (uno) es primitivo.
En los próximos posts exploraremos algunas de sus características especiales.
Mientras, post relacionados, donde ya aparecieron polinomios:
El anillo K[x]
Ejemplos de anillos conmutativos
Números algebraicos (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
16 de Enero, 2016, 7:42
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Publicado el
10 de Enero, 2016, 14:56
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Publicado el
8 de Enero, 2016, 6:23
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Publicado el
3 de Enero, 2016, 13:50
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Ha llegado un nuevo año. Pero como es habitual, sigo escribiendo resoluciones públicas de forma mensual. Veamos primero el resultado de las resoluciones de diciembre.
- Escribir sobre FinTech [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Además escribí sobre
Simetrías y Física (4)
Para este mes nuevo de enero de 2016, mis resoluciones son:
- Continuar escribiendo sobre FinTech
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre Particiones de Números
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
2 de Enero, 2016, 17:05
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En el anterior post llegamos al desarrollo:
Cuando:
y
Comencemos a examinar esa expresión del cubo de z. Si suponemos que no hay factores comunes entre los dos factores de la izquierda, es decir su máximo común divisor es la unidad:
Entonces ambos factores son cubos perfectos:
Quedando:
Y el otro factor es entonces:
Esta última expresión tiene una forma interesante. Acá aparece un salto, algo no evidente, en el esquema de esta demostración. La parte izquierda se puede expresar como:
Esto es notable. Estamos en un problema de números enteros, y aparece un número complejo, con un coeficiente irracional de raíz cuadrada de tres. Vamos a jugar un poco con estas expresiones, como números que van más allá de los enteros, que participan de un anillo de números complejos que tienen propiedades similares a los enteros.
Vamos a suponer que ambos factores:
y
no tienen un divisor común en ese anillo, y entonces, son cubos perfectos en ese anillo.
Muchas suposiciones, a demostrar. Pero seguiremos avanzando en esta línea en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
1 de Enero, 2016, 7:46
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Veamos hoy un caso de usar lagrangiano para deducir las ecuaciones de movimiento, pero planteado en otras coordenadas. Queda todavía pendiente la demostración de que el cambio de coordenadas no afecta el algoritmo que usamos, pero veamos un ejemplo antes de encarar la demostración.
Sea una partícula sujeta a una vara, pero deslizando libremente sobre la misma, sin fuerzas exteriores. La vara va girando con velocidad angular uniforme, apoyada en un punto fijo:
Queremos deducir las ecuaciones de movimientos. Planteamos la energía cinética y potencial usando como coordenadas generalizadas el ángulo que forma la vara con el piso, y la distancia de nuestra partícula al punto de apoyo de la vara. La energía cinética es:
Ahora bien, hay algo que liga a la partícula a la vara, resultando que su velocidad angular es la misma que la vara. Esta tiene velocidad angular constante, llamémosla omega:
La lagrangiana en los anteriores posts la expresamos como la suma de T (energía cinética) y V (energía potencial), pero V es cero, porque no hay nada que forme un potencial (no estamos considerando la gravedad). Entonces queda que la lagrangiana es simplemente igual a T:
Recordemos la ecuación de Lagrange:
Una por cada coordenada. Pero debido a las ligaduras, tenemos una sola coordenada, la r. Queda
Lo que da
Quedando
Para resolverla e integrarla, hay que apelar a un truco. Multiplicamos ambos miembros por r-punto:
Esto es igual a:
Porque omega es constante y se puede sacar afuera. Integrando, queda
Siendo C1 una constante arbitraria originada por la integración simbólica. Esto es:
Curiosamente, esta ecuación se puede integrar directamente, quedando:
Fue algo arduo, pero llegamos a un resultado: expresar la coordenada r en función del tiempo, aplicando lo que sabemos de lagrangianas.
En próximos posts, más ejemplos de coordenadas varias, y alguna demostración de la invariancia por cambio de sistema de coordenadas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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