Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Enero, 2016, 7:46

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Veamos hoy un caso de usar lagrangiano para deducir las ecuaciones de movimiento, pero planteado en otras coordenadas. Queda todavía pendiente la demostración de que el cambio de coordenadas no afecta el algoritmo que usamos, pero veamos un ejemplo antes de encarar la demostración.

Sea una partícula sujeta a una vara, pero deslizando libremente sobre la misma, sin fuerzas exteriores. La vara va girando con velocidad angular uniforme, apoyada en un punto fijo:

Queremos deducir las ecuaciones de movimientos. Planteamos la energía cinética y potencial usando como coordenadas generalizadas el ángulo que forma la vara con el piso, y la distancia de nuestra partícula al punto de apoyo de la vara. La energía cinética es:

Ahora bien, hay algo que liga a la partícula a la vara, resultando que su velocidad angular es la misma que la vara. Esta tiene velocidad angular constante, llamémosla omega:

La lagrangiana en los anteriores posts la expresamos como la suma de T (energía cinética) y V (energía potencial), pero V es cero, porque no hay nada que forme un potencial (no estamos considerando la gravedad). Entonces queda que la lagrangiana es simplemente igual a T:

Recordemos la ecuación de Lagrange:

Una por cada coordenada. Pero debido a las ligaduras, tenemos una sola coordenada, la r. Queda

Lo que da

Quedando

Para resolverla e integrarla, hay que apelar a un truco. Multiplicamos ambos miembros por r-punto:

Esto es igual a:

Porque omega es constante y se puede sacar afuera. Integrando, queda

Siendo C1 una constante arbitraria originada por la integración simbólica. Esto es:

Curiosamente, esta ecuación se puede integrar directamente, quedando:

Fue algo arduo, pero llegamos a un resultado: expresar la coordenada r en función del tiempo, aplicando lo que sabemos de lagrangianas.

En próximos posts, más ejemplos de coordenadas varias, y alguna demostración de la invariancia por cambio de sistema de coordenadas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia