Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 18 de Enero, 2016, 6:35

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Desde mi infancia, me han fascinado los polinomios. Los comencé a conocer en un libro español de divulgación, el volumen dedicado a matemáticas de una serie de varios temas. Fue uno de los libros que más me ayudo en los primeros años de estudiar lo que era matemáticas. Los temas eran limitados, pero interesantes.

Algo ya comenté sobre polinomios, ver enlaces relacionados al final del post. Un punto interesante es que los polinomios formales no son números pero se comportan como ellos: se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir.

Los matemáticos manejan polinomios de una o varias variables. Otra de las características que les interesan es la estructura de los coeficientes. Podrían pertenecer a un cuerpo (generalmente conmutativo) o pertenecer a un anilo (frecuente un dominio de integridad "sin divisores de cero"). En ambos casos, los polinomios forman un anillo (ver Anillos Conmutativos).

Veamos hoy un anillo de polinomios particular: formales en una sola variable, y con coeficientes enteros.

Ejemplo:

O

El que los coeficientes sean enteros, no significa que no podamos sustituir la variable formal por un valor real o aún complejo. A los matemáticos muchas veces les interesan los valores que se le puede dar a la variable formal, de manera tal que la valuación resultante de un polinomio de cero. Son las famosas raíces de los polinomios.

Es notable que aún con coeficientes enteros, no podamos asegurar que todas las raíces sean enteras. De hecho, la historia de encontrar todas las raíces de un polinomio (aun considerando solamente coeficientes enteros) ha llevado a extender los sistemas de números, a racionales, a reales, y a complejos. Ejemplo clásico:

La búsqueda de esta solución lleva a los números enteros negativos.

Y la solución a:

Lleva a los pitagóricos a descubrir números que no se pueden expresar como razones de naturales.

Y la solución a:

Lleva a los números complejos.

¿Por qué no mas sistemas de números, más allá de los complejos? Un tema interesantísimo pero que tengo que dejar para otro post. Baste recordar acá que el teorema fundamental del álgebra nos deja tranquilos: todos los polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, reales, complejos) tienen raíces a lo sumo complejas.

Lo interesante es que todas extensiones parten de polinomios con coeficientes enteros. No ganamos mucho más con otros tipos de coeficientes (sólo algo más si usamos coeficientes trascendentes, como el número pi).

A los matemáticos les gusta explorar cómo los elementos de una estructura se pueden descomponer en otros, especialmente usando la multiplicación, cuando ésta está definida. En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, el caso más simple es descomponer un polinomio en la multiplicación de otro por un entero:

Llegamos así a polinomios que no pueden descomponerse, como:

Porque no hay factor común entre sus coeficientes: no hay máximo común divisor, como no sea una unidad. Estos polinomios son muy interesantes, y hasta merecen un nombre: polinomios primitivos. Es evidente que cualquier polinomio que tenga un coeficiente igual a 1 (uno) es primitivo.

En los próximos posts exploraremos algunas de sus características especiales.

Mientras, post relacionados, donde ya aparecieron polinomios:

El anillo K[x]
Ejemplos de anillos conmutativos
Números algebraicos (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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