Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Enero, 2016, 15:52

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En los posts anteriores vimos operadores lineales, en espacios vectoriales generales, y luego los aplicamos solo a los vectores ket de la notación de Dirac. Veamos hoy de aplicarlos a los vectores bra. Para eso, definimos su acción A LA IZQUIERDA de un bra, como:

Esto parece trivial en la notación de Dirac, y es uno de los aportes de esta notación. Podemos usar el operador en el medio:

Sin preocuparnos "hacia" que lado se aplica.

Pero es conveniente para entender todo este desarrollo, que nos detengamos en examinar esto en más detalle. Porque una cosa es un operador lineal actuando sobre vectores ket, y otra cosa diferente es un operador lineal sobre vectores bra.

Un vector bra es, de hecho, un funcional lineal en el espacio de los vectores ket. Un vector bra:

Es, una notación más detallada, el funcional:

Donde

Es el vector que le corresponde a ese funcional F según el teorema de Riesz. El punto representa el lugar para el argumento que tiene que recibir el funcional, un vector. Podemos definir la aplicación de un operador lineal A sobre un funcional F, como:

Para todo vector psi.

La parte derecha de esta ecuación satisface la definición de un funcional lineal del vector psi, y entonces define un nuevo funcional, que tomando la parte izquierda, podemos escribir:

De acuerdo con el teorema de Riesz, a este funcional le debe corresponder un vector ji tal que cumple:

Dado un A, el vector ji queda determinado unívocamente por el vector phi. Entonces, debe existir un operador

Tal que cumpla

Podemos escribir:

Como

Pero recordemos que:

Y que

Quedando

Esto vale para cualquier par de vectores phi, psi. Lo que dice, es que a cada operador líneal A sobre kets, le corresponde un operador lineal (que EXISTE forzosamente) actuando sobre bras. Este operador A-cruz se denomina ADJUNTO de A.

En los párrafos de arriba, la existencia del adjunto la deducimos del teorema de Riesz. En la notación de Dirac, se puede introducir el adjunto (directamente, sin probar que existe) como el operador que al operar A sobre los kets, el adjunto opera de la misma forma sobre los bra. Cumpliendo:

Cuando

Este camino, en la notación de Dirac, permite introducir el adjunto de un operador PERO NO DEMUESTRA su existencia.

Sabiendo que

Se sigue la propiedad del adjunto:

En el próximo post veremos algunas propiedades más de este operador, que va a ir cobrando importancia en este desarrollo que estamos siguiendo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia