|
|
Febrero del 2016
Publicado el
29 de Febrero, 2016, 5:39
|
Publicado el
28 de Febrero, 2016, 14:35
|
Publicado el
27 de Febrero, 2016, 15:31
|
Publicado el
24 de Febrero, 2016, 6:25
|
Publicado el
22 de Febrero, 2016, 5:27
|
Publicado el
21 de Febrero, 2016, 18:48
|
Anterior Post
Siguiente Post
Tratemos otro caso donde aparecen números complejos en los intentos de demostración del último teorema de Fermat.
Podemos escribir para n = 3:
Donde
Es una raíz tercera de la unidad, compleja. Lo mismo tenemos en general:
Las raíces se llaman números ciclotómicos. Y cuando se agregan a los reales, forman un nuevo sistema de números. Ver Cyclotomic Field.
Es notable cómo un resultado sobre la suma de dos potencias de números reales se puede expresar como una serie de factores complejos a multiplicar. No es algo evidente, y nos habla de una fuerte conexión entre los mundos real y complejo para este famoso teorema de Fermat. Vamos a ir viendo conexiones aún más inesperadas en la historia de su demostración completa. Realmente, van asomando maravillas a cada momento.
Como este desarrollo en factores es igual a zn, y éste es una potencia n, se puede explorar el caso: todos los factores del desarrollo son potencias n, y sacar conclusiones sobre su existencia. Por ejemplo, podría probarse que algún factor al querer desarrollarse como potencia n exacta de algún número
sea imposible su existencia, para el caso n = 3 y otros casos. Sin embargo, esto se apoya en la presunción de que en ese anillo de reales extendido por estas raíces de la unidad SE CUMPLE LA FACTORIZACION UNICA. Y eso se vió que no siempre es cierto. La prueba general ofrecida por Lamé en el siglo XIX falla por ese motivo. El error fue señalado en su tiempo por Liouville.
Sin embargo, aún esa falla fue fructífera, porque dio pie a que Kummer creara los números ideales, los números "faltantes" para restaurar la factorización única en esos anillos. Kummer creó el concepto de primos regulares y demostró el teorema de Fermat para esos casos. Espero poder discutir su trabajo en esta serie de posts, más adelante.
Ver también Root of unity
Por ahora, seguiremos en los próximos post con el caso n = 3
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
20 de Febrero, 2016, 19:04
|
Anterior Post
Siguiente Post
Veamos hoy de demostrar algo simple, básico, ya conocido y demostrado por Euclides. Como tenemos pocos elementos desarrollados, la demostración que veremos no es directa, tendremos que demostrar un lema antes.
Queremos demostrar que, siendo p un número primo, a y b enteros, entonces, si p divide al producto ab, entonces o bien divide al factor a, o al factor b. Es algo que parece evidente, pero como todo en matemáticas, mejor demostrarlo.
Antes de llegar demostremos el lema, para p primo natural, no hay números naturales r, s tales:
Y que sean menores que p:
Pues, si hubiera números r, s con esas cualidades, tal vez varios o infinitos pares, tomemos el par r, s que haga que su producto rs sea el menor posible. Entonces, tomemos r, y de todos los pares de números v, t que cumplen:
Tomemos el par con el menor t positivo. Podemos ver que este conjunto de pares es no vacío, que tiene al menos un par con t positivo:
Y entonces, por propiedad de los conjuntos de números positivos, HAY UNO QUE ES EL MENOR. Todo esto lo tenemos que hacer de esta manera, para mostrar explícitamente que existe ese par. Pero podemos también apelar a un resultado del primer post, que implica que siempre existe:
Con
Multipliquemos p por s, queda:
O sea, que p divide a:
Pero tenemos que p divide a rs, queda que p divide a:
Pero como
Entonces
Siendo ts divisible por p, CONTRA LO SUPUESTO. Llegamos a una contradicción. Entonces, no existe el rs pedido.
Habiendo probado este lema, pasemos a demostrar que si:
Entonces
O
Probémoslo por el absurdo. Supongamos que:
Y
Esto es
Y
Donde d, f son no nulos, positivos, y menores que p. Multiplicamos, y obtenemos:
Sabemos que p divide a ab, entonces
Entonces p divide a:
Pero por el lema anterior, esto es imposible. Si p no divide ni a ni b, llegamos a contracción. Entonces, p divide al factor a o bien p divide al factor b.
Ha sido una demostración algo larga. Podríamos tomar otro camino, pero hubiéramos necesitado otros conceptos y resultados que no hemos tratado todavía como el máximo común divisor y sus propiedades. Tal vez más adelante volvamos a demostrar el resultado de hoy usando esos otros desarrollos. Ver, por ejemplo, otro camino en el libro Stein W.-Elementary number theory and elliptic curves.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
17 de Febrero, 2016, 15:40
|
Publicado el
16 de Febrero, 2016, 15:34
|
Anterior Post
Sigamos explorando el tema simetría sobre sistemas. En el post anterior vimos una relación entre hamiltonianos que se debe cumplir para una simetría, desde la imagen de Schrodinger.
Veamos hoy lo mismo desde la imagen de Heisenberg. No soy un gran entendido de esta imagen, porque no es habitual encontrarla. Igual dejo enlace al final del post, con una deducción de las ecuaciones de movimiento partiendo de la imagen de Schrodinger.
En la imagen de Heisenberg lo que evoluciona en el tiempo son los operadores, en vez de ser los vectores de estado. Tengamos de nuevo dos sistemas, S y S", obtenidos por aplicar una simetría g:
Sean {A} el conjunto de los operadores en S, sean {A"} los operadores en S". En la imagen de Heisenberg, se dan una ecuaciones de movimiento donde se expresa COMO evoluciona en el tiempo un operador. Entonces, la derivada temporal del operador A es:
Donde A es el operador, H el hamiltoniano del sistema S, y donde los corchetes son el conmutador de dos operadores:
Que podemos ver como una "medida" de cuánto conmutan o no esos operadores. En la ecuación de movimiento asumimos que A no depende explícitamente del tiempo, sino habría un término adicional a la derecha, con A derivada parcial de tiempo (ver enlace mencionado al final).
Ahora, en el sistema S", tenemos un hamiltoniano H", y pongamos un operador A" correspondiente a un observable en S". Ahí se da:
Pero por la discusión que vimos en el anterior post, el observable correspondiente a A" también es un observable de S, y evoluciona con el hamiltoniano H. Su evolución debe coincidir con la de arriba, para que realmente g sea una simetría. Entonces
Esta vez usamos el hamiltoniano H del sistema S. Entonces, queda:
Esto expresa que H-H" CONMUTA CON TODO OPERADOR de observable. Esto es, H-H" es múltiplo del operador unidad.
Esto es similar a lo que obtuvimos con la imagen de Schrodinger. Podemos decir entonces:
De todos los observables, el hamiltoniano se distingue por ser invariante ante las transformaciones de simetría del sistema físico.
Acá tomamos al hamiltoniano como expresando la evolución en el tiempo de un sistema. Si recuerdan relatividad y transformaciones de Lorentz, también estamos interesados en simetrías donde el tiempo no es especial, sino una coordenada más. En las teorías relativistas, las ecuaciones de movimiento pueden escribirse o no usando el hamiltoniano. Para los físicos, en esos casos aparece la llamada matriz S (de "scattering"), más general.
Saliendo un poco de la notación matemática, podemos resumir:
- Hay condiciones, como las ecuaciones de movimiento (de los vectores, de los operadores, dependiendo de la imagen Schrodinger o Heisenberg elegida) que dependen de algo característico del sistema (en nuestro análisis el hamiltoniano)
- Las operaciones de simetría dejan invariante a ese "algo"
- Entonces, las ecuaciones de movimiento siguen vigentes luego de la simetría
Algo vamos viendo, entonces, de qué esperar de una operación de simetría, apelando a consideraciones físicas, como la indistinguibilidad de los sistemas resultantes. En los próximos posts examineramos esas operaciones un poco más formalmente.
Ver
Heisenberg Picture
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
15 de Febrero, 2016, 17:10
|
Anterior Post
Sigamos explorando los polinomios con coeficientes enteros, que no se pueden descomponer en la multiplicación de un entero y un polinomio. Ya sabemos que se llaman polinomios primitivos, y que su característica es que el máximo común divisor de sus coeficientes es la unidad.
Un ejemplo de polinomio primitivo es:
Otro ejemplo es:
Si los multiplicamos:
Obtenemos multiplicando término a término:
Sumando los resultados, ordenando por potencias de x de mayor a menor:
Sumando los coeficientes de los términos con la misma potencia de x, queda:
Que de nuevo es primitivo: el único factor común de sus coeficientes es la unidad.
¿Cómo se obtuvieron los coeficientes de este resultado? Pues bien, cada término de x al cubo, se obtuvo de multiplicar términos cuyas potencias de x (los números de esa potencia), sumen 3, como fue el caso de multiplicar 7x por 5x2, o de 4x3 por 3. Es decir, que el término con potencia x n, es:
Lo notable, por no esperado y evidente, es que multiplicando DOS POLINOMIOS PRIMITIVOS, SIEMPRE OBTENEMOS otro POLINOMIO PRIMITIVO. Uno podría esperar que ante tanto cóctel de potencias, coeficientes y sumatorias, los coeficientes resultantes podrían tener un factor común. Es raro que no se lo encuentre NUNCA, pero es demostrable. Digo raro, porque vamos a deducir, en el próximo post, este resultado, un resultado que habla de divisibilidad, sobre un conjunto de coeficientes que, por la fórmula de arriba, resultan cada uno de UNA SUMATORIA. ¿Se entiende el quid de lo extraño? El tener o no un factor común es un tema de multiplicaciones y divisiones, mientras que los coeficientes finales aparecen por una sumatoria. Es esta mezcla de ámbitos lo que (por lo menos para mí) hace que este resultado sea no evidente ni esperado.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
14 de Febrero, 2016, 17:09
|
Anterior Post
Siguiente Post
Veamos que pasa cuando multiplicamos dos operadores cualesquiera, que no necesariamente conmutan. Para eso recordemos que si dos operadores f y g corresponden a una magnitud física, son hermíticos (ver Operadores Hermíticos). En cambio, en el caso general, no necesariamente su multiplicación (composición) será hermítica, y entonces, no necesariamente su multiplicación corresponderá a una magnitud física. Esto es diferente de lo que pasa en física clásica, donde la multiplicación de dos magnitudes físicas sigue siendo una magnitud con sentido físico.
Partamos de la definición de composición de operadores sobre dos funciones cualesquiera, y apliquemos la trasposición de operadores DOS veces:
Es decir, el transpuesto del operador fg, es:
Ya vimos en otro post que cuando un operador es hermítico, su transpuesto es igual a su conjugado complejo. Si f y g son operadores hermíticos, se cumple que:
Y que:
Quedando entonces:
Si de casualidad el producto de fg fuera hermítico, debería cumplir:
Recordando la definición de operador conjugado complejo, como el que cumple:
Queda que el conjugado complejo de la multiplicación fg es:
Esto es:
Juntando las últimas igualdades, suponiendo que la multiplicación fg es operador hermítico, entonces SE DEBE CUMPLIR:
Es decir, que los operadores conmuten es NECESARIO para que la multiplicación de operadores hermíticos sea hermítica. Y esto significa: la multiplicación de dos magnitudes físicas cuánticas sólo es otra magnitud física cuántica cuando sus respectivos operadores conmutan.
Si no conmutan, la multiplicación de operadores no tiene un significado de magnitud física directa.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
13 de Febrero, 2016, 16:53
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sabiendo que por cada operador podemos tener el adjunto que cumple:
Veamos algunas de las propiedades que se derivan directamente de esta relación:
Dado un número complejo c, lo podemos combinar con un operador lineal A. Pero si tomamos el adjunto de esa combinación, tenemos que tomar el conjugado de c. Esto nos advierte de nuevo que no estamos operando en simples espacios reales: desde hace un tiempo, los conjugados complejos aparecen en nuestras formulaciones. Es interesante ver que la física clásica pudo formularse sobre bases de uso de números reales, y que los números complejos sólo tuvieron un uso digamos accesorio. Es en la formulación de la física cuántica, que estamos explorando, donde aparecen los números complejos. Igual, siempre es posible reformular todas estas relaciones en términos de números reales (donde aparece una función de un número complejo, podemos poner DOS funciones reales, relacionadas).
Examinemos la relación. Por definición:
Pero por linealidad:
Por antisimetría:
Por definición de adjunto:
Combinando la serie de igualdades, queda:
Como se quería demostrar. De forma similar se puede probar:
Y también:
De nuevo, la demostración se hace expandiendo la definición y comprobando el resultado.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
10 de Febrero, 2016, 16:03
|
Publicado el
6 de Febrero, 2016, 15:18
|
Publicado el
3 de Febrero, 2016, 15:04
|
Tiempo de iniciar un nuevo mes y repasar las resoluciones públicas del mes anterior:
- Continuar escribiendo sobre FinTech [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo]
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo]
- Continuar mi serie sobre Particiones de Números [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Tengo que escribir sobre FinTech, que es un tema muy interesante. Y el tema particiones de números también, con algunos resultados no esperados en el desarrollo, no triviales e interesantes (llega la mano de Ramanujan por ahí).
Además, estuve escribiendo:
Polinomios Primitivos (1)
Para este nuevo mes de febrero me propongo:
- Continuar escribiendo sobre FinTech
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre Particiones de Números
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Estudiar blues en guitarra
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
2 de Febrero, 2016, 17:42
|
Anterior Post
Siguiente Post
Sigamos examinando operadores que comparten autofunciones. Sean dos operadores:
Tales que comparten autofunciones:
Y
Podemos hablar de la suma de los mismos como:
Esto tiene sentido para cualquier función de estado, porque si aplicamos esa definición a una de las autofunciones que comparten, obtenemos:
Es decir la suma es un operador que tiene las mismas autofunciones, y sus autovalores son la suma de los autovalores correspondientes a cada operador. Al compartir autofunciones, esta buena definición de suma se puede extender a toda función compuesta de las autofunciones de base. El que compartan autofunciones algo que en el anterior posts vimos que es equivalente a hablar de operadores que se pueden medir simultáneamente.
También podemos pensar en la multiplicación de operadores, como:
Si lo aplicamos a una autofunción, obtenemos:
Si aplicamos la multiplicación "al revés", tenemos:
Con lo cual vemos que ambas multiplicaciones dan el mismo resultado para las autofunciones (recordemos que los autovalores son números y conmutan), y esto se puede extender a cualquier función de estado descomponible en las autofunciones de base. Podemos escribir:
Por eso decimos que estos operadores conmutan. Esto, que es natural en física clásica, es casi la excepción en física cuántica. Veremos que hay operadores importantes que no conmutan, y donde la parte derecha de la ecuación de arriba NO ES CERO.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
1 de Febrero, 2016, 17:36
|
Anterior Post
Siguiente Post
En el anterior post apareció la expresión:
Siendo p y q enteros, sin factores comunes. Comentaba que es curioso que aparezcan números complejos en este tipo de problemas de enteros. Lo interesante es que ahora estamos ampliando el problema original: buscaremos condiciones que se cumplan no sólo para los enteros que manejamos todos los días, sino para "otros enteros" que tienen expresión compleja, y hasta coeficiente irracional.
Curiosamente, esta extensión del problema original permite llegar a alguna solución. Es como si la teoría de números nos dijera: "con complejos es más fácil". Examinemos los números de la forma:
Con a, b enteros cualesquiera. Es decir, tenemos un conjunto infinito de tales números. Tienen una propiedad: al sumar dos cualesquiera, o multiplicar dos cualesquiera, se obtiene otro número del mismo conjunto. Por ejemplo:
Lo que da:
Que tiene la misma "forma" que los números originales.
Conseguimos un nuevo conjunto de números "enteros", que son cerrados para la suma y la multiplicación, como los enteros originales. Pero estos últimos tienen una propiedad muy interesante en teoría de número: la factorización única en factores primos. ¿Se cumplirá esta propiedad en este nuevo conjunto de "enteros"? Pues resulta que no, por ejemplo, el número 4 tiene dos factorizaciones distintas:
Ninguno de estos factores se puede expresar en factores más "pequeños", y llegar al mismo desarrollo de factores, como pide la propiedad de factorización única.
El que no se cumpla esta propiedad nos va a complicar trabajar con estos nuevos enteros. No vamos a poder operar con ellos como con los enteros normales. Por ejemplo, de la expresión que encontramos en el post anterior:
No podríamos deducir que los factores entre paréntesis son cubos perfectos.
Veremos dos caminos para sortear este obstáculo: encontrar un nuevo conjunto que contenga a éste, pero que tenga factorización única. O explorar el seguir investigando la solución sin apelar a estos "enteros complejos". Curiosamente, ambos caminos terminan siendo, de alguna manera, el mismo.
Como nota curiosa, Euler usó un camino en su primera demostración del caso Fermat n=3, dando un paso en falso, similar a la que hubiéramos dado nosotros si presumimos la factorización única en estos "enteros complejos". En realidad, estamos abriendo un nuevo mundo, donde el uso de enteros complejos nos lleva a elevar el alcance de la teoría de números, más allá de lo que hubiera esperado Fermat.
Ver también:
Non-unique factorization
Unique and nonunique factorization
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
|
