Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Febrero, 2016, 17:09

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Veamos que pasa cuando multiplicamos dos operadores cualesquiera, que no necesariamente conmutan. Para eso recordemos que si dos operadores f y g corresponden a una magnitud física, son hermíticos (ver Operadores Hermíticos). En cambio, en el caso general, no necesariamente su multiplicación (composición) será hermítica, y entonces, no necesariamente su multiplicación corresponderá a una magnitud física. Esto es diferente de lo que pasa en física clásica, donde la multiplicación de dos magnitudes físicas sigue siendo una magnitud con sentido físico.

Partamos de la definición de composición de operadores sobre dos funciones cualesquiera, y apliquemos la trasposición de operadores DOS veces:

Es decir, el transpuesto del operador fg, es:

Ya vimos en otro post que cuando un operador es hermítico, su transpuesto es igual a su conjugado complejo. Si f y g son operadores hermíticos, se cumple que:

Y que:

Quedando entonces:

Si de casualidad el producto de fg fuera hermítico, debería cumplir:

Recordando la definición de operador conjugado complejo, como el que cumple:

Queda que el conjugado complejo de la  multiplicación fg es:

Esto es:

Juntando las últimas igualdades, suponiendo que la multiplicación fg es operador hermítico, entonces SE DEBE CUMPLIR:

Es decir, que los operadores conmuten es NECESARIO para que la multiplicación de operadores hermíticos sea hermítica. Y esto significa: la multiplicación de dos magnitudes físicas cuánticas sólo es otra magnitud física cuántica cuando sus respectivos operadores conmutan.

Si no conmutan, la multiplicación de operadores no tiene un significado de magnitud física directa.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia