Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Febrero, 2016, 17:10

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Sigamos explorando los polinomios con coeficientes enteros, que no se pueden descomponer en la multiplicación de un entero y un polinomio. Ya sabemos que se llaman polinomios primitivos, y que su característica es que el máximo común divisor de sus coeficientes es la unidad.

Un ejemplo de polinomio primitivo es:

Otro ejemplo es:

Si los multiplicamos:

Obtenemos multiplicando término a término:



Sumando los resultados, ordenando por potencias de x de mayor a menor:

Sumando los coeficientes de los términos con la misma potencia de x, queda:

Que de nuevo es primitivo: el único factor común de sus coeficientes es la unidad.

¿Cómo se obtuvieron los coeficientes de este resultado? Pues bien, cada término de x al cubo, se obtuvo de multiplicar términos cuyas potencias de x (los números de esa potencia), sumen 3, como fue el caso de multiplicar 7x por 5x2, o de 4x3 por 3. Es decir, que el término con potencia x n, es:

Lo notable, por no esperado y evidente, es que multiplicando DOS POLINOMIOS PRIMITIVOS, SIEMPRE OBTENEMOS otro POLINOMIO PRIMITIVO. Uno podría esperar que ante tanto cóctel de potencias, coeficientes y sumatorias, los coeficientes resultantes podrían tener un factor común. Es raro que no se lo encuentre NUNCA, pero es demostrable. Digo raro, porque vamos a deducir, en el próximo post, este resultado, un resultado que habla de divisibilidad, sobre un conjunto de coeficientes que, por la fórmula de arriba, resultan cada uno de UNA SUMATORIA. ¿Se entiende el quid de lo extraño? El tener o no un factor común es un tema de multiplicaciones y divisiones, mientras que los coeficientes finales aparecen por una sumatoria. Es esta mezcla de ámbitos lo que (por lo menos para mí) hace que este resultado sea no evidente ni esperado.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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