Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 16 de Febrero, 2016, 15:34

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Sigamos explorando el tema simetría sobre sistemas. En el post anterior vimos una relación entre hamiltonianos que se debe cumplir para una simetría, desde la imagen de Schrodinger.

Veamos hoy lo mismo desde la imagen de Heisenberg. No soy un gran entendido de esta imagen, porque no es habitual encontrarla. Igual dejo enlace al final del post, con una deducción de las ecuaciones de movimiento partiendo de la imagen de Schrodinger.

En la imagen de Heisenberg lo que evoluciona en el tiempo son los operadores, en vez de ser los vectores de estado. Tengamos de nuevo dos sistemas, S y S", obtenidos por aplicar una simetría g:

Sean {A} el conjunto de los operadores en S, sean {A"} los operadores en S". En la imagen de Heisenberg, se dan una ecuaciones de movimiento donde se expresa COMO evoluciona en el tiempo un operador. Entonces, la derivada temporal del operador A es:

Donde A es el operador, H el hamiltoniano del sistema S, y donde los corchetes son el conmutador de dos operadores:

Que podemos ver como una "medida" de cuánto conmutan o no esos operadores. En la ecuación de movimiento asumimos que A no depende explícitamente del tiempo, sino habría un término adicional a la derecha, con A derivada parcial de tiempo (ver enlace mencionado al final).

Ahora, en el sistema S", tenemos un hamiltoniano H", y pongamos un operador A" correspondiente a un observable en S". Ahí se da:

Pero por la discusión que vimos en el anterior post, el observable correspondiente a A" también es un observable de S, y evoluciona con el hamiltoniano H. Su evolución debe coincidir con la de arriba, para que realmente g sea una simetría. Entonces

Esta vez usamos el hamiltoniano H del sistema S. Entonces, queda:

Esto expresa que H-H" CONMUTA CON TODO OPERADOR de observable. Esto es, H-H" es múltiplo del operador unidad.

Esto es similar a lo que obtuvimos con la imagen de Schrodinger. Podemos decir entonces:

De todos los observables, el hamiltoniano se distingue por ser invariante ante las transformaciones de simetría del sistema físico.

Acá tomamos al hamiltoniano como expresando la evolución en el tiempo de un sistema. Si recuerdan relatividad y transformaciones de Lorentz, también estamos interesados en simetrías donde el tiempo no es especial, sino una coordenada más. En las teorías relativistas, las ecuaciones de movimiento pueden escribirse o no usando el hamiltoniano. Para los físicos, en esos casos aparece la llamada matriz S (de "scattering"), más general.

Saliendo un poco de la notación matemática, podemos resumir:

- Hay condiciones, como las ecuaciones de movimiento (de los vectores, de los operadores, dependiendo de la imagen Schrodinger o Heisenberg elegida) que dependen de algo característico del sistema (en nuestro análisis el hamiltoniano)
- Las operaciones de simetría dejan invariante a ese "algo"
- Entonces, las ecuaciones de movimiento  siguen vigentes luego de la simetría

Algo vamos viendo, entonces, de qué esperar de una operación de simetría, apelando a consideraciones físicas, como la indistinguibilidad de los sistemas resultantes. En los próximos posts examineramos esas operaciones un poco más formalmente.

Ver

Heisenberg Picture

Nos leemos!

Angel  "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia